题目
15.lim_(xtoinfty)ln(1+2^x)ln(1+(2)/(x))=_____.
15.$\lim_{x\to\infty}\ln(1+2^{x})\ln(1+\frac{2}{x})=$_____.
题目解答
答案
当 $x \to \infty$ 时，
1. $\ln(1+2^x) \approx \ln(2^x) = x \ln 2$，
2. $\ln\left(1+\frac{2}{x}\right) \approx \frac{2}{x}$（利用对数近似）。
将两式相乘得：
\[
\ln(1+2^x) \ln\left(1+\frac{2}{x}\right) \approx (x \ln 2) \cdot \frac{2}{x} = 2 \ln 2.
\]
取极限得：
\[
\lim_{x \to \infty} \ln(1+2^x) \ln\left(1+\frac{2}{x}\right) = 2 \ln 2.
\]
**答案：** $\boxed{2 \ln 2}$
解析
步骤 1：分析 $\ln(1+2^x)$ 的极限行为
当 $x \to \infty$ 时，$2^x$ 迅速增长，因此 $1+2^x \approx 2^x$。利用对数的性质，我们有 $\ln(1+2^x) \approx \ln(2^x) = x \ln 2$。
步骤 2：分析 $\ln(1+\frac{2}{x})$ 的极限行为
当 $x \to \infty$ 时，$\frac{2}{x}$ 趋近于 0。利用对数的近似性质，我们有 $\ln\left(1+\frac{2}{x}\right) \approx \frac{2}{x}$。
步骤 3：计算极限
将步骤 1 和步骤 2 的结果相乘，我们得到：
\[ \ln(1+2^x) \ln\left(1+\frac{2}{x}\right) \approx (x \ln 2) \cdot \frac{2}{x} = 2 \ln 2. \]
取极限得：
\[ \lim_{x \to \infty} \ln(1+2^x) \ln\left(1+\frac{2}{x}\right) = 2 \ln 2. \]
当 $x \to \infty$ 时，$2^x$ 迅速增长，因此 $1+2^x \approx 2^x$。利用对数的性质，我们有 $\ln(1+2^x) \approx \ln(2^x) = x \ln 2$。
步骤 2：分析 $\ln(1+\frac{2}{x})$ 的极限行为
当 $x \to \infty$ 时，$\frac{2}{x}$ 趋近于 0。利用对数的近似性质，我们有 $\ln\left(1+\frac{2}{x}\right) \approx \frac{2}{x}$。
步骤 3：计算极限
将步骤 1 和步骤 2 的结果相乘，我们得到：
\[ \ln(1+2^x) \ln\left(1+\frac{2}{x}\right) \approx (x \ln 2) \cdot \frac{2}{x} = 2 \ln 2. \]
取极限得：
\[ \lim_{x \to \infty} \ln(1+2^x) \ln\left(1+\frac{2}{x}\right) = 2 \ln 2. \]