题目
某工厂有168名工人,已知每个车间的工人人-|||-数各不相同且均为偶数,任意两个车间的平均-|||-人数不少于30人,那么该工厂最多有()个 ()-|||-车间。A.6B.3C.4D.5
- A.6
- B.3
- C.4
- D.5
题目解答
答案
D
解析
步骤 1：确定每个车间的最小人数
由于任意两个车间的平均人数不少于30人，因此每个车间的人数至少为28人（因为28和32的平均数为30）。
步骤 2：计算最多可能的车间数量
假设工厂有n个车间，每个车间的人数分别为28, 30, 32, ..., 28+2(n-1)。这些车间的人数构成一个等差数列，其中首项为28，公差为2。根据等差数列的求和公式，n个车间的总人数为：
\[ S_n = \frac{n}{2} [2 \times 28 + (n-1) \times 2] = n(28 + n - 1) = n(n + 27) \]
由于总人数为168，我们有：
\[ n(n + 27) = 168 \]
步骤 3：求解方程
解方程n(n + 27) = 168，得到：
\[ n^2 + 27n - 168 = 0 \]
使用求根公式：
\[ n = \frac{-27 \pm \sqrt{27^2 + 4 \times 168}}{2} = \frac{-27 \pm \sqrt{729 + 672}}{2} = \frac{-27 \pm \sqrt{1401}}{2} \]
由于n为正整数，我们只考虑正根：
\[ n = \frac{-27 + \sqrt{1401}}{2} \approx \frac{-27 + 37.43}{2} \approx 5.215 \]
因此，n的最大整数值为5，即最多有5个车间。
由于任意两个车间的平均人数不少于30人，因此每个车间的人数至少为28人（因为28和32的平均数为30）。
步骤 2：计算最多可能的车间数量
假设工厂有n个车间，每个车间的人数分别为28, 30, 32, ..., 28+2(n-1)。这些车间的人数构成一个等差数列，其中首项为28，公差为2。根据等差数列的求和公式，n个车间的总人数为：
\[ S_n = \frac{n}{2} [2 \times 28 + (n-1) \times 2] = n(28 + n - 1) = n(n + 27) \]
由于总人数为168，我们有：
\[ n(n + 27) = 168 \]
步骤 3：求解方程
解方程n(n + 27) = 168，得到：
\[ n^2 + 27n - 168 = 0 \]
使用求根公式：
\[ n = \frac{-27 \pm \sqrt{27^2 + 4 \times 168}}{2} = \frac{-27 \pm \sqrt{729 + 672}}{2} = \frac{-27 \pm \sqrt{1401}}{2} \]
由于n为正整数，我们只考虑正根：
\[ n = \frac{-27 + \sqrt{1401}}{2} \approx \frac{-27 + 37.43}{2} \approx 5.215 \]
因此，n的最大整数值为5，即最多有5个车间。