题目

题型说明：共10题，每题1分。49. (1.0分) 如果X与Y是两个相互独立的随机变量，则有D(Xpm Y)=DX+DY。A 对B 错

题型说明：共10题，每题1分。 49. (1.0分) 如果X与Y是两个相互独立的随机变 量，则有$D(X\pm Y)=DX+DY$。 A 对 B 错

题目解答

答案

对于相互独立的随机变量 $X$ 和 $Y$，协方差 $\text{Cov}(X, Y) = 0$。根据方差的性质： \[D(X \pm Y) = DX + DY \pm 2 \text{Cov}(X, Y)\] 代入协方差为零，得： \[D(X \pm Y) = DX + DY\] 因此，题目陈述正确。答案：$\boxed{A}$

解析

考查要点：本题主要考查方差的性质以及独立随机变量的协方差特性。

解题核心思路：

  1. 方差的可加性：对于任意两个随机变量$X$和$Y$，有$D(X \pm Y) = DX + DY \pm 2\text{Cov}(X,Y)$。
  2. 独立性与协方差的关系：若$X$与$Y$独立，则$\text{Cov}(X,Y) = 0$。
    结合这两点，可直接推导出题目中的结论。

破题关键点：

  • 明确独立随机变量的协方差为零，从而简化方差公式中的交叉项。

步骤1：写出方差的通用公式
对于任意两个随机变量$X$和$Y$，有：
$D(X \pm Y) = DX + DY \pm 2\text{Cov}(X,Y).$

步骤2：利用独立性简化协方差
题目中给出$X$与$Y$独立，因此：
$\text{Cov}(X,Y) = 0.$

步骤3：代入公式验证等式
将$\text{Cov}(X,Y) = 0$代入通用公式，得：
$D(X \pm Y) = DX + DY \pm 2 \times 0 = DX + DY.$
因此，题目中的等式成立。