14.设幂级数sum_(n=0)^inftya_(n)(x-3)^n在x=-1处收敛，x=7处发散，则该幂级数的收敛半径为____

为了确定幂级数$\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}(x-3)^{n}$的收敛半径，我们需要分析级数在给定点$x = -1$和$x = 7$处的收敛性。 幂级数$\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}(x-3)^{n}$的中心在$x = 3$。收敛半径$R$是使得级数在区间$(3-R, 3+R)$内收敛的正数。 已知级数在$x = -1$处收敛，我们计算$-1$与中心$3$之间的距离： \[ |3 - (-1)| = 4 \] 这意味着收敛半径$R$至少为4，即$R \geq 4$。 已知级数在$x = 7$处发散，我们计算$7$与中心$3$之间的距离： \[ |3 - 7| = 4 \] 这意味着收敛半径$R$小于4，即$R \leq 4$。 结合这两个结果，我们得到： \[ R \geq 4 \quad \text{和} \quad R \leq 4 \] 因此，收敛半径$R$必须恰好为4。 该幂级数的收敛半径是$\boxed{4}$。