题目
1.3.4 两辆车A和B在笔直的公路上同向行驶，它们在同一起始线上同时出发，并且由出发点开始计时，行驶的距离x(m)与行驶的时间t(s)的函数关系式：A为 x_(A)=4t+t^2，B为 x_(B)=2t^2+2t^3，则它们刚离开出发点时，行驶在前面的车是哪辆车？并分别求出两辆车出发后行驶距离相同的时刻和出发后B车相对A车速度为零的时刻.
1.3.4 两辆车A和B在笔直的公路上同向行驶，它们在同一起始线上同时出发，并且由出发点开始计时，行驶的距离x(m)与行驶的时间t(s)的函数关系式：A为$ x_{A}=4t+t^{2}$，B为$ x_{B}=2t^{2}+2t^{3}$，则它们刚离开出发点时，行驶在前面的车是哪辆车？并分别求出两辆车出发后行驶距离相同的时刻和出发后B车相对A车速度为零的时刻.
题目解答
答案
1. **刚离开出发点时，行驶在前面的车：**
求导得速度：
$v_A = 4 + 2t$，$v_B = 4t + 6t^2$。
当 $t = 0$ 时，$v_A = 4$ m/s，$v_B = 0$ m/s。
**答案：车A**
2. **行驶距离相同的时刻：**
令 $x_A = x_B$，即 $4t + t^2 = 2t^2 + 2t^3$。
解得 $t = 0$ 或 $t = \frac{-1 + \sqrt{33}}{4}$ s（舍负）。
**答案：$t = \frac{-1 + \sqrt{33}}{4}$ s ≈ 1.186 s**
3. **B车相对A车速度为零的时刻：**
令 $v_B = v_A$，即 $4t + 6t^2 = 4 + 2t$。
解得 $t = \frac{2}{3}$ s（舍负）。
**答案：$t = \frac{2}{3}$ s ≈ 0.667 s**
\[
\boxed{
\begin{array}{ll}
1. & \text{车A} \\
2. & t = \frac{-1 + \sqrt{33}}{4} \, \text{s} \approx 1.186 \, \text{s} \\
3. & t = \frac{2}{3} \, \text{s} \approx 0.667 \, \text{s} \\
\end{array}
}
\]
解析
步骤 1：确定刚离开出发点时，行驶在前面的车
- 对于车A，行驶距离的函数为$x_{A}=4t+t^{2}$。
- 对于车B，行驶距离的函数为$x_{B}=2t^{2}+2t^{3}$。
- 当$t=0$时，$x_{A}=0$，$x_{B}=0$，两车都在出发点。
- 求导得到速度：$v_{A}=\frac{dx_{A}}{dt}=4+2t$，$v_{B}=\frac{dx_{B}}{dt}=4t+6t^{2}$。
- 当$t=0$时，$v_{A}=4$ m/s，$v_{B}=0$ m/s，因此车A的速度大于车B的速度，车A行驶在前面。
步骤 2：求两辆车行驶距离相同的时刻
- 令$x_{A}=x_{B}$，即$4t+t^{2}=2t^{2}+2t^{3}$。
- 整理得到$2t^{3}+t^{2}-4t=0$。
- 提取公因式得到$t(2t^{2}+t-4)=0$。
- 解得$t=0$或$t=\frac{-1+\sqrt{33}}{4}$ s（舍负）。
步骤 3：求B车相对A车速度为零的时刻
- 令$v_{B}=v_{A}$，即$4t+6t^{2}=4+2t$。
- 整理得到$6t^{2}+2t-4=0$。
- 解得$t=\frac{2}{3}$ s（舍负）。
- 对于车A，行驶距离的函数为$x_{A}=4t+t^{2}$。
- 对于车B，行驶距离的函数为$x_{B}=2t^{2}+2t^{3}$。
- 当$t=0$时，$x_{A}=0$，$x_{B}=0$，两车都在出发点。
- 求导得到速度：$v_{A}=\frac{dx_{A}}{dt}=4+2t$，$v_{B}=\frac{dx_{B}}{dt}=4t+6t^{2}$。
- 当$t=0$时，$v_{A}=4$ m/s，$v_{B}=0$ m/s，因此车A的速度大于车B的速度，车A行驶在前面。
步骤 2：求两辆车行驶距离相同的时刻
- 令$x_{A}=x_{B}$，即$4t+t^{2}=2t^{2}+2t^{3}$。
- 整理得到$2t^{3}+t^{2}-4t=0$。
- 提取公因式得到$t(2t^{2}+t-4)=0$。
- 解得$t=0$或$t=\frac{-1+\sqrt{33}}{4}$ s（舍负）。
步骤 3：求B车相对A车速度为零的时刻
- 令$v_{B}=v_{A}$，即$4t+6t^{2}=4+2t$。
- 整理得到$6t^{2}+2t-4=0$。
- 解得$t=\frac{2}{3}$ s（舍负）。