59.当x→0时，α(x)=kx2与β(x)= sqrt(1+xarcsinx)- sqrt(cosx) 是等价无穷小，则k=（）。A. 1B. 3C. 3/4D. 1/4

本题考查等价无穷小的概念及极限计算，核心是利用等价无穷小替换和泰勒展开简化极限运算。

关键思路

当$x \to 0$时，若$\alpha(x)$与$\beta(x)$是等价无穷小，则$\lim_{x \to 0} \frac{\beta(x)}{\alpha(x)} = 1$。本题需计算$\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1+x\arcsinx} - \sqrt{\cos x}}{kx^2} = 1$，从而求解$k$。

步骤1：有理化分子

对$\beta(x)$的分子分母同乘共轭根式$\sqrt{1+x\arcsinx} + \sqrt{\cos x}$，消去根号：
$\sqrt{1+x\arcsinx} - \sqrt{\cos x} = \frac{(\sqrt{1+x\arcsinx})^2 - (\sqrt{\cos x})^2}{\sqrt{1+x\arcsinx} + \sqrt{\cos x}} = \frac{(1+x\arcsinx) - \cos x}{\sqrt{1+x\arcsinx} + \sqrt{\cos x}}$
当$x \to 0$时，分母$\sqrt{1+x\arcsinx} + \sqrt{\cos x} \to 1 + 1 = 2$，故分母极限为2，可分离出常数。

步骤2：计算分子$(1+x\arcsinx) - \cos x$的等价无穷小

分子需展开到$x^2$项（因分母为$x^2$，更高阶项可忽略）：

• $x\arcsinx$的等价无穷小：当$x \to 0$时，$\arcsinx \sim x + \frac{x^3}{6}$，故$x\arcsinx \sim x^2 + \frac{x^4}{6}$，取$x^2$项得$x\arcsinx \sim x^2$。
• $\cos x$的泰勒展开：$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + o(x^2)$，故$1 - \cos x \sim \frac{x^2}{2}$。

因此：
$(1+x\arcsinx) - \cos x = (1 - \cos x) + x\arcsinx \sim \frac{x^2}{2} + x^2 = \frac{3x^2}{2}$

步骤3：代入极限计算$k$

$\lim_{x \to 0} \frac{\beta(x)}{kx^2} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{3x^2}{2}}{2 \cdot kx^2} = \frac{3}{4k}$
令$\frac{3}{4k} = 1$，解得$k = \frac{3}{4}$。