int dfrac ({x)^3}(sqrt {1+{x)^2}}dx,

考查要点：本题主要考查不定积分的计算，特别是通过变量替换法处理含有根号的有理函数积分。关键在于合理选择中间变量，将复杂积分转化为简单形式。

解题思路：

1. 观察分母结构：分母为$\sqrt{1+x^2}$，提示可令$u=1+x^2$简化积分。
2. 拆分分子：将分子$x^3$拆分为$x^2 \cdot x$，利用$du=2x dx$替换$x dx$，并用$u-1$代替$x^2$。
3. 分项积分：将拆分后的表达式转化为关于$u$的简单分式，分别积分后合并结果。

步骤1：变量替换

令$u = 1 + x^2$，则$du = 2x dx$，即$x dx = \dfrac{du}{2}$。此时原积分可改写为：
$\int \frac{x^3}{\sqrt{1+x^2}} dx = \int \frac{x^2 \cdot x}{\sqrt{u}} dx = \frac{1}{2} \int \frac{u-1}{\sqrt{u}} du$

步骤2：拆分分子

将分子$u-1$拆分为两部分：
$\frac{u-1}{\sqrt{u}} = \frac{u}{\sqrt{u}} - \frac{1}{\sqrt{u}} = \sqrt{u} - \frac{1}{\sqrt{u}}$

步骤3：分项积分

分别对$\sqrt{u}$和$\frac{1}{\sqrt{u}}$积分：
$\begin{aligned}\frac{1}{2} \int \left( \sqrt{u} - \frac{1}{\sqrt{u}} \right) du &= \frac{1}{2} \left( \int u^{1/2} du - \int u^{-1/2} du \right) \\&= \frac{1}{2} \left( \frac{2}{3} u^{3/2} - 2 u^{1/2} \right) + C\end{aligned}$

步骤4：代回变量

将$u = 1 + x^2$代回，整理得：
$\frac{1}{3} (1+x^2)^{3/2} - (1+x^2)^{1/2} + C$