5.设函数 y=y(x) 由方程 ln (x+y)=(e)^xy 所确定,则 '|=0=

步骤 1：隐函数求导
对给定的方程 $\ln (x+y)={e}^{xy}$，我们首先对两边同时对x求导。根据链式法则和乘积法则，我们得到：
$$
\frac{1}{x+y} \cdot (1+y') = {e}^{xy} \cdot (y + xy')
$$
步骤 2：代入x=0
将x=0代入上述方程，得到：
$$
\frac{1}{0+y} \cdot (1+y') = {e}^{0 \cdot y} \cdot (y + 0 \cdot y')
$$
简化后得到：
$$
\frac{1}{y} \cdot (1+y') = {e}^{0} \cdot y
$$
步骤 3：求解y'
由于${e}^{0} = 1$，方程进一步简化为：
$$
\frac{1}{y} \cdot (1+y') = y
$$
将方程两边同时乘以y，得到：
$$
1 + y' = y^2
$$
解出y'，得到：
$$
y' = y^2 - 1
$$
步骤 4：求y(0)
由于x=0时，$\ln (0+y)={e}^{0 \cdot y}$，即$\ln y = 1$，解得$y = e$。
步骤 5：代入y(0)求y'(0)
将y=e代入y'的表达式中，得到：
$$
y'(0) = e^2 - 1
$$