题目
两个同方向简谐振动的振动方程分别为_(1)=3times (10)^-2cos (10t+dfrac (3)(4)pi )SI，_(1)=3times (10)^-2cos (10t+dfrac (3)(4)pi )SI，则合振动的振幅为________cm。
两个同方向简谐振动的振动方程分别为
，
，则合振动的振幅为________cm。
题目解答
答案
首先将两个简谐振动的振动方程表示成标准形式，即
和
。
对于同方向简谐振动，合振动的振动方程可以表示为
。
根据三角函数的和差化积公式，可以将x表示为
的形式。
为合振动的初相位。将
代入上式，可得到合振动的振幅为
，即合振动的振幅为5.3cm。因此，本题的答案为5.3cm。
需要注意的是，在计算过程中需要将振幅的单位从SI单位转换为cm。另外，在计算合振动的初相位时，需要使用arctan函数来计算。
解析
步骤 1：将两个简谐振动的振动方程表示成标准形式
两个简谐振动的振动方程分别为${x}_{1}=3\times {10}^{-2}\cos (10t+\dfrac {3}{4}\pi )SI$和${x}_{2}=4\times {10}^{-2}\cos (10t+\dfrac {1}{4}\pi )SI$。它们可以表示为${x}_{1}={A}_{1}\cos (\omega t+{\phi }_{1})$和${x}_{2}={A}_{2}\cos (\omega t+{\varphi }_{2})$，其中${A}_{1}=3\times {10}^{-2}m$，${A}_{2}=4\times {10}^{-2}m$，$\omega =10rad/s$，${\phi }_{1}=\dfrac {3}{4}\pi$，${\varphi }_{2}=\dfrac {1}{4}\pi$。
步骤 2：计算合振动的振幅
对于同方向简谐振动，合振动的振动方程可以表示为$x={x}_{1}+{x}_{2}$。根据三角函数的和差化积公式，可以将x表示为$x=C\cos (\omega t+\phi )$的形式。其中，$C=\sqrt {({A}_{1}\cos {\varphi }_{1}+{A}_{2}\cos {\varphi }_{2})^{2}+({A}_{1}\sin {\varphi }_{1}+{A}_{2}\sin {\varphi }_{2})^{2}}$。将${A}_{1}$、${A}_{2}$、${\varphi }_{1}$、${\varphi }_{2}$代入上式，可得到合振动的振幅为$C=0.053m$。
步骤 3：将合振动的振幅单位从SI单位转换为cm
将合振动的振幅$C=0.053m$转换为cm，得到$C=5.3cm$。
两个简谐振动的振动方程分别为${x}_{1}=3\times {10}^{-2}\cos (10t+\dfrac {3}{4}\pi )SI$和${x}_{2}=4\times {10}^{-2}\cos (10t+\dfrac {1}{4}\pi )SI$。它们可以表示为${x}_{1}={A}_{1}\cos (\omega t+{\phi }_{1})$和${x}_{2}={A}_{2}\cos (\omega t+{\varphi }_{2})$，其中${A}_{1}=3\times {10}^{-2}m$，${A}_{2}=4\times {10}^{-2}m$，$\omega =10rad/s$，${\phi }_{1}=\dfrac {3}{4}\pi$，${\varphi }_{2}=\dfrac {1}{4}\pi$。
步骤 2：计算合振动的振幅
对于同方向简谐振动，合振动的振动方程可以表示为$x={x}_{1}+{x}_{2}$。根据三角函数的和差化积公式，可以将x表示为$x=C\cos (\omega t+\phi )$的形式。其中，$C=\sqrt {({A}_{1}\cos {\varphi }_{1}+{A}_{2}\cos {\varphi }_{2})^{2}+({A}_{1}\sin {\varphi }_{1}+{A}_{2}\sin {\varphi }_{2})^{2}}$。将${A}_{1}$、${A}_{2}$、${\varphi }_{1}$、${\varphi }_{2}$代入上式，可得到合振动的振幅为$C=0.053m$。
步骤 3：将合振动的振幅单位从SI单位转换为cm
将合振动的振幅$C=0.053m$转换为cm，得到$C=5.3cm$。