题目

5.当0≤x≤(pi)/(2)时，lim_(ntoinfty)sqrt[n](sin^nx+cos^nx)=____.

5.当0≤x≤$\frac{\pi}{2}$时，$\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\sin^{n}x+\cos^{n}x}$=____.

题目解答

答案

设 $a = \sin x$，$b = \cos x$，则 $a, b \in [0, 1]$ 且 $a^2 + b^2 = 1$。 **情况1：** 当 $a = b = \frac{\sqrt{2}}{2}$（即 $x = \frac{\pi}{4}$）时， \[ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{2 \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^n} = \lim_{n \to \infty} 2^{1/n - 1/2} = \frac{\sqrt{2}}{2}. \] **情况2：** 当 $a \neq b$ 时，不妨设 $a > b$，则 \[ \sin^n x \leq \sin^n x + \cos^n x \leq 2 \sin^n x \implies \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\sin^n x + \cos^n x} = \sin x. \] 同理，若 $b > a$，则极限为 $\cos x$。 **答案：** \[ \boxed{\begin{cases} \cos x & 0 \leq x < \frac{\pi}{4}, \\ \frac{\sqrt{2}}{2} & x = \frac{\pi}{4}, \\ \sin x & \frac{\pi}{4} < x \leq \frac{\pi}{2}. \end{cases}} \] 或 \[ \boxed{\max(\sin x, \cos x)}. \]

解析

考查要点：本题主要考查极限运算中对幂指函数形式的处理，以及三角函数比较大小的能力。关键在于理解当$n$趋向于无穷大时，$\sin^n x$和$\cos^n x$的主导项如何影响整个表达式的极限值。

解题核心思路：

  1. 比较$\sin x$和$\cos x$的大小：在区间$0 \leq x \leq \frac{\pi}{2}$内，$\sin x$和$\cos x$的大小关系随$x$的变化而变化。
  2. 分析主导项：当$n$很大时，较大的那个数的$n$次方会远超过另一个数的$n$次方，因此极限值由较大的那个数决定。
  3. 特殊情况处理：当$\sin x = \cos x$时（即$x = \frac{\pi}{4}$），需单独计算。

破题关键点：

  • 分情况讨论：根据$\sin x$和$\cos x$的大小关系，分三种情况（$\sin x > \cos x$，$\sin x < \cos x$，$\sin x = \cos x$）分别求极限。
  • 利用不等式放缩：通过夹逼定理证明当$\sin x \neq \cos x$时，极限值为较大的那个数。

设$a = \sin x$，$b = \cos x$，则$a, b \in [0, 1]$且$a^2 + b^2 = 1$。分以下三种情况讨论：

情况1：当$a = b = \frac{\sqrt{2}}{2}$（即$x = \frac{\pi}{4}$）时

此时$\sin^n x + \cos^n x = 2 \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^n$，因此：
$\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{2 \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^n} = \lim_{n \to \infty} 2^{1/n} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}.$

情况2：当$a \neq b$时

假设$a > b$（若$b > a$同理），则$\cos^n x$趋近于0的速度更快，因此：
$\sin^n x \leq \sin^n x + \cos^n x \leq 2 \sin^n x.$
取$n$次根后：
$\sin x \leq \sqrt[n]{\sin^n x + \cos^n x} \leq \sqrt[n]{2} \cdot \sin x.$
当$n \to \infty$时，$\sqrt[n]{2} \to 1$，由夹逼定理得极限为$\sin x$。同理，若$b > a$，则极限为$\cos x$。