求a,b为何值时,函数 f(x)= ),xlt 0, b,x=0, dfrac (ln (1+ax))(x),xgt 0 . x=0 处连续.-|||-.

考查要点：本题主要考查分段函数在分段点处的连续性条件，涉及极限的计算，特别是利用等价无穷小或洛必达法则处理未定式。

解题核心思路：
函数在$x=0$处连续需满足左极限=右极限=函数值$f(0)=b$。

• 左极限（$x \to 0^-$）：处理形如$(1+kx)^{1/x}$的极限，可转化为自然指数形式，利用$\lim_{x \to 0} (1+kx)^{1/x} = e^k$。
• 右极限（$x \to 0^+$）：处理$\frac{\ln(1+ax)}{x}$，利用等价无穷小$\ln(1+ax) \sim ax$直接化简。

破题关键：

1. 左极限转化：将$(1+2x)^{1/x}$写成指数函数形式，通过求对数简化计算。
2. 右极限简化：直接应用等价无穷小替换，快速得出极限值。
3. 联立方程：通过左极限、右极限与$f(0)$相等，联立解出$a$和$b$。

步骤1：计算左极限（$x \to 0^-$）

当$x \to 0^-$时，函数为$f(x) = (1+2x)^{1/x}$。

1. 取自然对数：
   $\ln\left[(1+2x)^{1/x}\right] = \frac{\ln(1+2x)}{x}$
2. 计算极限：
   当$x \to 0$时，$\ln(1+2x) \sim 2x$，因此：
   $\lim_{x \to 0^-} \frac{\ln(1+2x)}{x} = \lim_{x \to 0^-} \frac{2x}{x} = 2$
3. 还原指数形式：
   左极限为$e^2$，即：
   $\lim_{x \to 0^-} f(x) = e^2$

步骤2：计算右极限（$x \to 0^+$）

当$x \to 0^+$时，函数为$f(x) = \frac{\ln(1+ax)}{x}$。

1. 应用等价无穷小：
   $\ln(1+ax) \sim ax$，因此：
   $\lim_{x \to 0^+} \frac{\ln(1+ax)}{x} = \lim_{x \to 0^+} \frac{ax}{x} = a$
   即右极限为$a$。

步骤3：连续性条件

函数在$x=0$处连续需满足：
$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0)$
代入已知条件：
$e^2 = a = b$
因此，$a = b = e^2$。