题目

3、设随机变量X服从分布N(μ,σ²)，则Y=X-μ服从分布N(0,1).（）(2分)T 正确F 错误

3、设随机变量X服从分布N(μ,σ²)，则Y=X-μ服从分布N(0,1).（）(2分) T 正确 F 错误

题目解答

答案

设随机变量 $ X $ 服从正态分布 $ N(\mu, \sigma^2) $，则 $ X $ 的均值为 $ \mu $，方差为 $ \sigma^2 $。令 $ Y = X - \mu $，则： - **均值**：$ E(Y) = E(X - \mu) = \mu - \mu = 0 $ - **方差**：$ \text{Var}(Y) = \text{Var}(X - \mu) = \sigma^2 $ 因此，$ Y $ 服从正态分布 $ N(0, \sigma^2) $。仅当 $ \sigma^2 = 1 $ 时，$ Y $ 才服从标准正态分布 $ N(0,1) $。题目未明确 $ \sigma^2 = 1 $，故结论错误。 答案：$\boxed{\text{错误}}$

解析

考查要点：本题主要考查正态分布的线性变换性质，特别是均值和方差的变化规律。

解题核心思路：

  1. 正态分布的性质：若随机变量 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，则其线性变换 $Y = aX + b$ 的分布仍为正态分布，参数为 $N(a\mu + b, a^2\sigma^2)$。

  2. 关键操作：题目中 $Y = X - \mu$，即 $a=1$，$b=-\mu$，需计算新分布的均值和方差。

  3. 判断标准：只有当方差为 $1$ 时，分布才是标准正态分布 $N(0,1)$，但题目未限定 $\sigma^2 = 1$，因此结论错误。

  4. 计算均值：
    $E(Y) = E(X - \mu) = E(X) - \mu = \mu - \mu = 0$
    均值为 $0$，符合标准正态分布的均值要求。

  5. 计算方差：
    $\text{Var}(Y) = \text{Var}(X - \mu) = \text{Var}(X) = \sigma^2$
    方差仍为 $\sigma^2$，而非 $1$。

  6. 结论：
    $Y$ 服从 $N(0, \sigma^2)$，仅当 $\sigma^2 = 1$ 时才服从 $N(0,1)$。题目未明确 $\sigma^2 = 1$，因此原命题错误。