题目
13. (2.0分) 某商店根据过去的销售记录知道某种商品每月的销售量可以用λ=10的泊松分布来描述. 为了以95%以上的把握保证不脱销，问商店在月底应不少于 ( ) 件该种商品? (假设只在月底进货)。 A. 15 B. 13 C. 16 D. 17
13. (2.0分) 某商店根据过去的销售记录知道某种商品每月的销售量可以用λ=10的泊松分布来描述. 为了以95%以上的把握保证不脱销，问商店在月底应不少于 ( ) 件该种商品? (假设只在月底进货)。
A. 15
B. 13
C. 16
D. 17
A. 15
B. 13
C. 16
D. 17
题目解答
答案
设商品月销售量 $X$ 服从参数为 $\lambda = 10$ 的泊松分布。为保证不脱销概率超过 95%，需满足 $P(X \leq a) \geq 0.95$。
1. **正态近似**：
当 $\lambda$ 较大时，泊松分布可近似为正态分布 $N(10, 10)$。
\[
P\left(\frac{X - 10}{\sqrt{10}} \leq \frac{a - 10}{\sqrt{10}}\right) \geq 0.95
\]
由标准正态分布表，$\Phi(1.645) \approx 0.95$，故
\[
\frac{a - 10}{\sqrt{10}} \geq 1.645 \implies a \geq 15.20
\]
取整数得 $a = 16$（但需考虑连续性校正）。
2. **直接计算**：
查泊松分布表，
\[
P(X \leq 15) \approx 0.95126 \quad \text{（满足条件）}
\]
\[
P(X \leq 14) \approx 0.91653 \quad \text{（不满足条件）}
\]
故最小 $a$ 为 15。
**答案：** $\boxed{A}$（15件）
解析
考查要点：本题主要考查泊松分布的应用及正态近似法，同时涉及概率计算的实际应用。
解题核心思路：
- 泊松分布性质：已知销售量服从参数$\lambda=10$的泊松分布，需找到最小的$a$，使得$P(X \leq a) \geq 0.95$。
- 正态近似法：当$\lambda$较大时，可用正态分布$N(\lambda, \lambda)$近似泊松分布，需注意连续性校正。
- 直接查表验证：通过泊松分布表验证临界值$a$，确保结果准确性。
破题关键点：
- 连续性校正是正态近似的关键，避免因离散分布与连续分布的差异导致误差。
- 直接计算是验证近似结果的必要步骤，确保答案符合实际分布特性。
步骤1：正态近似法
- 确定参数：泊松分布均值$\mu = \lambda = 10$，方差$\sigma^2 = \lambda = 10$，标准差$\sigma = \sqrt{10} \approx 3.1623$。
- 标准化转换：
$P\left(\frac{X - \mu}{\sigma} \leq \frac{a + 0.5 - \mu}{\sigma}\right) \geq 0.95$
其中，连续性校正需在$a$上加$0.5$。 - 查标准正态分布表：对应$0.95$分位数为$1.645$，得：
$\frac{a + 0.5 - 10}{\sqrt{10}} \geq 1.645 \implies a \geq 10 + 1.645 \cdot \sqrt{10} - 0.5 \approx 15.20 - 0.5 = 14.70$
取整数得$a = 15$。
步骤2：直接查泊松分布表
- 验证$a=15$：
$P(X \leq 15) \approx 0.95126 \quad (\text{满足} \geq 0.95)$ - 验证$a=14$：
$P(X \leq 14) \approx 0.91653 \quad (\text{不满足})$
因此，最小满足条件的$a$为$15$。