题目
地-|||-A r2 B-|||-题一人造地球卫星绕地球作椭圆运动，近地点为A，远地点为B，A、B两点距地心分别为r1、r2，设卫星质量为m，地球质量为M，万有引力常数为G，则卫星在A、B两点处的万有引力势能之差EPB-EPA= ____ ；卫星在A、B两点的动能之差EKB-EKA= ____ 。
一人造地球卫星绕地球作椭圆运动，近地点为A，远地点为B，A、B两点距地心分别为r1、r2，设卫星质量为m，地球质量为M，万有引力常数为G，则卫星在A、B两点处的万有引力势能之差EPB-EPA= ____ ；卫星在A、B两点的动能之差EKB-EKA= ____ 。题目解答
答案
解：卫星在A、B两点引力势能差：
ΔEP=EPB-EPA=$\frac{GMm}{{r}_{2}^{2}}•{r}_{2}$-$\frac{GMm}{{r}_{1}^{2}}•{r}_{1}$=GMm（$\frac{{r}_{1}-{r}_{2}}{{r}_{1}{r}_{2}}$）
卫星在A、B两点万有引力提供向心力：$\frac{GMm}{{r}^{2}}$=$m\frac{{v}^{2}}{r}$
则ΔEP=EkB-EkA=$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}$
解得：EkB-EkA=$\frac{1}{2}GMm$（$\frac{{r}_{1}-{r}_{2}}{{r}_{1}{r}_{2}}$）
故答案为：GMm（$\frac{{r}_{1}-{r}_{2}}{{r}_{1}{r}_{2}}$），$\frac{1}{2}GMm$（$\frac{{r}_{1}-{r}_{2}}{{r}_{1}{r}_{2}}$）
ΔEP=EPB-EPA=$\frac{GMm}{{r}_{2}^{2}}•{r}_{2}$-$\frac{GMm}{{r}_{1}^{2}}•{r}_{1}$=GMm（$\frac{{r}_{1}-{r}_{2}}{{r}_{1}{r}_{2}}$）
卫星在A、B两点万有引力提供向心力：$\frac{GMm}{{r}^{2}}$=$m\frac{{v}^{2}}{r}$
则ΔEP=EkB-EkA=$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}$
解得：EkB-EkA=$\frac{1}{2}GMm$（$\frac{{r}_{1}-{r}_{2}}{{r}_{1}{r}_{2}}$）
故答案为：GMm（$\frac{{r}_{1}-{r}_{2}}{{r}_{1}{r}_{2}}$），$\frac{1}{2}GMm$（$\frac{{r}_{1}-{r}_{2}}{{r}_{1}{r}_{2}}$）
解析
步骤 1：计算万有引力势能差
根据万有引力势能的定义，卫星在A点的万有引力势能为E_PA=-$\frac{GMm}{{r}_{1}}$，在B点的万有引力势能为E_PB=-$\frac{GMm}{{r}_{2}}$。因此，卫星在A、B两点处的万有引力势能之差为E_PB-E_PA=-$\frac{GMm}{{r}_{2}}$-(-$\frac{GMm}{{r}_{1}}$)=GMm($\frac{1}{{r}_{1}}$-$\frac{1}{{r}_{2}}$)=GMm($\frac{{r}_{2}-{r}_{1}}{{r}_{1}{r}_{2}}$)。
步骤 2：计算动能差
根据万有引力提供向心力的公式，$\frac{GMm}{{r}^{2}}$=$m\frac{{v}^{2}}{r}$，可以得到卫星在A点的速度为v_A=$\sqrt{\frac{GM}{{r}_{1}}}$，在B点的速度为v_B=$\sqrt{\frac{GM}{{r}_{2}}}$。因此，卫星在A、B两点的动能之差为E_KB-E_KA=$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}$=$\frac{1}{2}m(\frac{GM}{{r}_{2}}-\frac{GM}{{r}_{1}})$=$\frac{1}{2}GMm(\frac{{r}_{1}-{r}_{2}}{{r}_{1}{r}_{2}})$。
根据万有引力势能的定义，卫星在A点的万有引力势能为E_PA=-$\frac{GMm}{{r}_{1}}$，在B点的万有引力势能为E_PB=-$\frac{GMm}{{r}_{2}}$。因此，卫星在A、B两点处的万有引力势能之差为E_PB-E_PA=-$\frac{GMm}{{r}_{2}}$-(-$\frac{GMm}{{r}_{1}}$)=GMm($\frac{1}{{r}_{1}}$-$\frac{1}{{r}_{2}}$)=GMm($\frac{{r}_{2}-{r}_{1}}{{r}_{1}{r}_{2}}$)。
步骤 2：计算动能差
根据万有引力提供向心力的公式，$\frac{GMm}{{r}^{2}}$=$m\frac{{v}^{2}}{r}$，可以得到卫星在A点的速度为v_A=$\sqrt{\frac{GM}{{r}_{1}}}$，在B点的速度为v_B=$\sqrt{\frac{GM}{{r}_{2}}}$。因此，卫星在A、B两点的动能之差为E_KB-E_KA=$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}$=$\frac{1}{2}m(\frac{GM}{{r}_{2}}-\frac{GM}{{r}_{1}})$=$\frac{1}{2}GMm(\frac{{r}_{1}-{r}_{2}}{{r}_{1}{r}_{2}})$。