题目

设样本总体 X_1, X_2 来自正态总体 N(mu, sigma^2)，(2)/(3)X_1+(1)/(3)X_2，(1)/(2)X_1+(1)/(2)X_2，(1)/(4)X_1+(3)/(4)X_2，(3)/(5)X_1+(2)/(5)X_2 是关于总体期望 mu 的估计量，则 A. (2)/(3)X_1+(1)/(3)X_2 是无偏估计量B. (1)/(2)X_1+(1)/(2)X_2 是无偏估计量C. (1)/(4)X_1+(3)/(4)X_2 是无偏估计量D. (3)/(5)X_1+(2)/(5)X_2 是无偏估计量

设样本总体 $X_1, X_2$ 来自正态总体 $N(\mu, \sigma^2)$，$\frac{2}{3}X_1+\frac{1}{3}X_2$，$\frac{1}{2}X_1+\frac{1}{2}X_2$，$\frac{1}{4}X_1+\frac{3}{4}X_2$，$\frac{3}{5}X_1+\frac{2}{5}X_2$ 是关于总体期望 $\mu$ 的估计量，则

  • A. $\frac{2}{3}X_1+\frac{1}{3}X_2$ 是无偏估计量
  • B. $\frac{1}{2}X_1+\frac{1}{2}X_2$ 是无偏估计量
  • C. $\frac{1}{4}X_1+\frac{3}{4}X_2$ 是无偏估计量
  • D. $\frac{3}{5}X_1+\frac{2}{5}X_2$ 是无偏估计量

题目解答

答案

对于每个估计量，计算其期望值： 1. $E\left(\frac{2}{3}X_1 + \frac{1}{3}X_2\right) = \frac{2}{3}\mu + \frac{1}{3}\mu = \mu$ 2. $E\left(\frac{1}{2}X_1 + \frac{1}{2}X_2\right) = \frac{1}{2}\mu + \frac{1}{2}\mu = \mu$ 3. $E\left(\frac{1}{4}X_1 + \frac{3}{4}X_2\right) = \frac{1}{4}\mu + \frac{3}{4}\mu = \mu$ 4. $E\left(\frac{3}{5}X_1 + \frac{2}{5}X_2\right) = \frac{3}{5}\mu + \frac{2}{5}\mu = \mu$ 所有估计量的期望值均等于 $\mu$，故均为无偏估计量。 **答案：A, B, C, D** **解析：** 无偏估计量满足 $E(\hat{\mu}) = \mu$。各选项中，系数和均为1（$\frac{2}{3} + \frac{1}{3} = 1$，$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$，$\frac{1}{4} + \frac{3}{4} = 1$，$\frac{3}{5} + \frac{2}{5} = 1$），因此均为无偏估计量。 **答案：** \[ \boxed{A, B, C, D} \]

解析

无偏估计量的判断核心在于验证估计量的期望是否等于被估计的参数。对于线性组合形式的估计量 $aX_1 + bX_2$，其期望为 $(a + b)\mu$。因此，只要系数 $a$ 和 $b$ 的和为 $1$，该估计量就是无偏的。

选项分析

选项A：$\frac{2}{3}X_1 + \frac{1}{3}X_2$

  • 系数和：$\frac{2}{3} + \frac{1}{3} = 1$
  • 期望：$E\left(\frac{2}{3}X_1 + \frac{1}{3}X_2\right) = \frac{2}{3}\mu + \frac{1}{3}\mu = \mu$

选项B：$\frac{1}{2}X_1 + \frac{1}{2}X_2$

  • 系数和：$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$
  • 期望：$E\left(\frac{1}{2}X_1 + \frac{1}{2}X_2\right) = \frac{1}{2}\mu + \frac{1}{2}\mu = \mu$

选项C：$\frac{1}{4}X_1 + \frac{3}{4}X_2$

  • 系数和：$\frac{1}{4} + \frac{3}{4} = 1$
  • 期望：$E\left(\frac{1}{4}X_1 + \frac{3}{4}X_2\right) = \frac{1}{4}\mu + \frac{3}{4}\mu = \mu$

选项D：$\frac{3}{5}X_1 + \frac{2}{5}X_2$

  • 系数和：$\frac{3}{5} + \frac{2}{5} = 1$
  • 期望：$E\left(\frac{3}{5}X_1 + \frac{2}{5}X_2\right) = \frac{3}{5}\mu + \frac{2}{5}\mu = \mu$

结论：所有选项的系数和均为 $1$，因此均为无偏估计量。