题目
[题目] int dfrac (x)(sqrt {1-{x)^2}}dx
题目解答
答案
解析
步骤 1：识别积分类型
观察积分 $\int \dfrac {x}{\sqrt {1-{x}^{2}}}dx$，我们发现它是一个可以使用代换法解决的积分。具体来说，我们可以使用三角代换或直接代换来简化积分。
步骤 2：使用代换法
我们设 $u = 1 - x^2$，则 $du = -2x dx$，从而 $x dx = -\frac{1}{2} du$。将这些代入原积分中，我们得到：
$$\int \dfrac {x}{\sqrt {1-{x}^{2}}}dx = \int \dfrac {-\frac{1}{2} du}{\sqrt {u}} = -\frac{1}{2} \int u^{-\frac{1}{2}} du$$
步骤 3：计算积分
根据幂函数的积分公式 $\int u^n du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C$，我们有：
$$-\frac{1}{2} \int u^{-\frac{1}{2}} du = -\frac{1}{2} \cdot \frac{u^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} + C = -\sqrt{u} + C$$
将 $u = 1 - x^2$ 代回，得到：
$$-\sqrt{1 - x^2} + C$$
观察积分 $\int \dfrac {x}{\sqrt {1-{x}^{2}}}dx$，我们发现它是一个可以使用代换法解决的积分。具体来说，我们可以使用三角代换或直接代换来简化积分。
步骤 2：使用代换法
我们设 $u = 1 - x^2$，则 $du = -2x dx$，从而 $x dx = -\frac{1}{2} du$。将这些代入原积分中，我们得到：
$$\int \dfrac {x}{\sqrt {1-{x}^{2}}}dx = \int \dfrac {-\frac{1}{2} du}{\sqrt {u}} = -\frac{1}{2} \int u^{-\frac{1}{2}} du$$
步骤 3：计算积分
根据幂函数的积分公式 $\int u^n du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C$，我们有：
$$-\frac{1}{2} \int u^{-\frac{1}{2}} du = -\frac{1}{2} \cdot \frac{u^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} + C = -\sqrt{u} + C$$
将 $u = 1 - x^2$ 代回，得到：
$$-\sqrt{1 - x^2} + C$$