设 gt 0. f(x)在 [ -8,8] 上有定义, (0)=1, 且满足-|||-lim _(xarrow 0)dfrac (ln (1-2x)+2xf(x))({x)^2}=0-|||-证明:f(x)在 x=0 处可导,并求 f`(0).

考查要点：本题主要考查导数的定义、泰勒展开的应用以及极限的运算技巧。关键在于通过已知极限条件，将函数$f(x)$在$x=0$处的增量与泰勒展开后的表达式结合，推导出$f'(0)$。

解题思路：

1. 泰勒展开：将$\ln(1-2x)$展开到二阶，消去分母$x^2$，简化极限表达式。
2. 分离增量：将分子中的$f(x)$项单独分离，构造与$f(x)-f(0)$相关的表达式。
3. 极限分析：通过已知极限为$0$的条件，推导出$\lim_{x \to 0} \frac{f(x)-f(0)}{x}$的值，即$f'(0)$。

步骤1：泰勒展开$\ln(1-2x)$

对$\ln(1-2x)$在$x=0$处展开：
$\ln(1-2x) = -2x - 2x^2 + o(x^2).$

步骤2：代入原极限表达式

将展开式代入分子：
$\ln(1-2x) + 2x f(x) = (-2x - 2x^2 + o(x^2)) + 2x f(x).$

整理分子：
$= 2x(f(x) - 1) - 2x^2 + o(x^2).$

步骤3：构造极限方程

根据题意，分子除以$x^2$的极限为$0$：
$\lim_{x \to 0} \frac{2x(f(x)-1) - 2x^2 + o(x^2)}{x^2} = 0.$

拆分项：
$\lim_{x \to 0} \left[ \frac{2(f(x)-1)}{x} - 2 + \frac{o(x^2)}{x^2} \right] = 0.$

步骤4：分析极限条件

由于$\frac{o(x^2)}{x^2} \to 0$，则剩余部分必须满足：
$\lim_{x \to 0} \left( \frac{2(f(x)-1)}{x} - 2 \right) = 0.$

解得：
$\lim_{x \to 0} \frac{f(x)-1}{x} = 1.$

结论：根据导数定义，$f'(0) = 1$，且$f(x)$在$x=0$处可导。