简答题（共1题，20.0分）41. (20.0分) 某地检查健康男性工人625人的红细胞计数，得均数为4.8×10 12/L，标准差为0.5×10 12/L。①据此资料估计该地健康男性工人的血液红细胞平均含量可能所在的范围；②现有一男性工人的红细胞数为5.4×10 12/L，问该男性的血液红细胞数是否正常？请输入答案

本题主要考查了总体均数的置信区间估计以及个体值是否在正常范围内的判断。解题思路如下：

① 估计该地健康男性工人的血液红细胞平均含量可能所在的范围

本题可根据总体均数的置信区间公式来估计该地健康男性工人的血液红细胞平均含量的范围。当样本量$n$较大（一般$n\geq50$）时，总体均数$\mu$的$95\%$置信区间为$\bar{x} \pm 1.96 \times \frac{s}{\sqrt{n}}$，其中$\bar{x}$为样本均数，$s$为样本标准差，$n$为样本量。

• 已知样本均数$\bar{x} = 4.8 \times 10^{12}/L$，标准差$s = 0.5 \times 10^{12}/L$，样本量$n = 625$。
• 首先计算$\frac{s}{\sqrt{n}}$的值：
  $\frac{s}{\sqrt{n}}=\frac{0.5 \times 10^{12}/L}{\sqrt{625}}=\frac{0.5 \times 10^{12}/L}{25}=0.02\times 10^{12}/L$
• 然后计算$1.96 \times \frac{s}{\sqrt{n}}$的值：
  $1.96 \times \frac{s}{\sqrt{n}} = 1.96\times0.02\times 10^{12}/L = 0.0392 \times 10^{12}/L$
• 最后计算总体均数的$95\%$置信区间：
  $\bar{x} \pm 1.96 \times \frac{s}{\sqrt{n}} = 4.8 \times 10^{12}/L \pm 0.0392 \times 10^{12}/L=(4.7608 \times 10^{12}/L, 4.8392 \times 10^{12}/L)$
  也可近似为$(4.76 \times 10^{12}/L, 4.84 \times 10^{12}/L)$。

② 判断该男性的血液红细胞数是否正常

通常以$\bar{x} \pm 1.96s$作为医学参考值范围，判断个体值是否在该范围内，若在则认为正常，否则认为异常。

• 已知样本均数$\bar{x} = 4.8 \times 10^{12}/L$，标准差$s = 0.5 \times 10^{12}/L$。
• 计算正常范围：
  $\bar{x} \pm 1.96s = 4.8 \times 10^{12}/L \pm 1.96 \times 0.5 \times 10^{12}/L$
  $= 4.8 \times 10^{12}/L \pm 0.98 \times 10^{12}/L=(3.82 \times 10^{12}/L, 5.78 \times 10^{12}/L)$
• 已知该男性的红细胞数为$5.4 \times 10^{12}/L$，因为$3.82 \times 10^{12}/L\lt{}5.4 \times 10^{12}/L\lt{}5.78 \times 10^{12}/L$，所以该男性的红细胞数在正常范围内，属于正常。