题目

求极限 lim_(x arrow 0) (3sin x+x^2cos frac1x)/((1+cos x)ln(1+x))

求极限$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{3\sin x+x^2\cos \frac1x}{(1+\cos x)\ln(1+x)} $

题目解答

当$ x\to 0 $时，$ \cos x\to1 $而$ \ln(1+x)\sim x $,$ \sin x\sim x $

代入可得
$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{3\sin x+x^2\cos \frac1x}{(1+\cos x)\ln(1+x)} $

$ =\lim_{x\to0}\frac{3 x+x^2\cos\frac1x}{2x} $

$ =\frac32+\lim_{x\to0}x\cos\frac1x $。

当$ x\to 0 $时，$ x\to0 $，$ \cos\frac1x\leqslant 1 $（即有上界），故$ x\cos\frac1x\to0 $

即原极限$ =\frac32 $