设 X_1, X_2, ldots, X_n 是来自总体 X sim N(mu, sigma^2) 的一组样本观测值，样本均值为 bar(X) = (1)/(n) sum_(i=1)^n X_i，令 Y = (sum_(i=1)^n (X_i - bar(X))^2)/(sigma^2)，则 Y 服从A. chi^2(n) 分布B. t(n) 分布C. chi^2(n-1) 分布D. N(mu, (sigma^2)/(n)) 分布

本题考查的知识点是正态总体样本的统计量分布，具体是样本方差与卡方分布的关系。解题的关键思路是利用正态总体样本的性质，将给定的统计量 $Y$ 转化为符合卡方分布定义的形式。

步骤一：对分子进行变形

已知 $Y = \frac{\sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2}{\sigma^2}$，先对分子 $\sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2$ 进行处理。
因为 $\bar{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$，所以有：
$\begin{align*}\sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2&=\sum_{i=1}^n (X_i^2 - 2X_i\bar{X} + \bar{X}^2)\\&=\sum_{i=1}^n X_i^2 - 2\bar{X}\sum_{i=1}^n X_i + n\bar{X}^2\end{align*}$
又因为 $\sum_{i=1}^n X_i = n\bar{X}$，代入上式可得：
$\begin{align*}\sum_{i=1}^n X_i^2 - 2\bar{X}\sum_{i=1}^n X_i + n\bar{X}^2&=\sum_{i=1}^n X_i^2 - 2\bar{X}\cdot n\bar{X} + n\bar{X}^2\\&=\sum_{i=1}^n X_i^2 - n\bar{X}^2\end{align*}$
则 $Y = \frac{\sum_{i=1}^n X_i^2 - n\bar{X}^2}{\sigma^2}=\frac{\sum_{i=1}^n X_i^2}{\sigma^2}-n\cdot\frac{\bar{X}^2}{\sigma^2}$。

步骤二：分析各部分的分布

• 因为 $X_i \sim N(\mu, \sigma^2)$，那么 $\frac{X_i - \mu}{\sigma} \sim N(0, 1)$，根据卡方分布的定义，$\sum_{i=1}^n (\frac{X_i - \mu}{\sigma})^2=\frac{\sum_{i=1}^n (X_i - \mu)^2}{\sigma^2}\sim \chi^2(n)$。
• 又因为 $\bar{X} \sim N(\mu, \frac{\sigma^2}{n})$，所以 $\frac{\bar{X} - \mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}} \sim N(0, 1)$，进而 $(\frac{\bar{X} - \mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}})^2=\frac{(\bar{X} - \mu)^2}{\frac{\sigma^2}{n}}\sim \chi^2(1)$。

步骤三：利用正交变换和卡方分布的性质

可以证明 $\frac{\sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2}{\sigma^2}$ 是 $n - 1$ 个相互独立的标准正态分布随机变量的平方和。
根据卡方分布的定义：若 $Z_1,Z_2,\cdots,Z_m$ 相互独立且都服从标准正态分布 $N(0,1)$，则 $\sum_{i = 1}^{m}Z_i^2\sim \chi^2(m)$。
在这里 $m = n - 1$，所以 $Y = \frac{\sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2}{\sigma^2}\sim \chi^2(n - 1)$。