2.求由曲线 =ln x ,y=0 ,=dfrac (1)(2) , x=2 围成的区域面积。

本题考查利用定积分求曲边梯形的面积，关键是确定被积函数和积分区间，通过分部积分法计算定积分。

步骤1：确定积分区间和被积函数

曲线 $y = \ln x$ 与 $y = 0$（x轴）、$x = \frac{1}{2}$、$x = 2$ 围成的区域，需分两段讨论：

• 当 $x \in [\frac{1}{2}, 1]$ 时，$\ln x \leq 0$，区域面积由 $y = 0 - \ln x$ 积分得到；
• 当 $x \in [1, 2]$ 时，$\ln x \geq 0$，区域面积由 $y = \ln x - 0$ 积分得到。

总面积 $S = S_1 + S_2$，其中：
$S_1 = \int_{\frac{1}{2}}^1 (0 - \ln x) dx, \quad S_2 = \int_{1}^2 \ln x dx$

步骤2：用分部积分法计算积分

分部积分公式：$\int u dv = uv - \int v du$，取 $u = \ln x$，$dv = dx$，则 $du = \frac{1}{x}dx$，$v = x$，故：
$\int \ln x dx = x\ln x - \int x \cdot \frac{1}{x}dx = x\ln x - x + C$

步骤3：计算定积分

计算 $S_1$

$S_1 = \int_{\frac{1}{2}}^1 (-\ln x) dx = \left[ - (x\ln x - x) \right]_{\frac{1}{2}}^1$
代入上下限：

• 上限 $x=1$：$- (1 \cdot \ln 1 - 1) = - (0 - 1) = 1$
• 下限 $x=\frac{1}{2}$：$- \left( \frac{1}{2}\ln\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \right) = - \left( -\frac{1}{2}\ln 2 - \frac{1}{2} \right) = \frac{1}{2}\ln 2 + \frac{1}{2}$
  $S_1 = 1 - \left( \frac{1}{2}\ln 2 + \frac{1}{2} \right) = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\ln 2$

计算 $S_2$

$S_2 = \int_{1}^2 \ln x dx = \left[ x\ln x - x \right]_1^2$
代入上下限：

• 上限 $x=2$：$2\ln 2 - 2$
• 下限 $x=1$：$1 \cdot \ln 1 - 1 = -1$
  $S_2 = (2\ln 2 - 2) - (-1) = 2\ln 2 - 1$

步骤4：总面积 $S = S_1 + S_2$

$S = \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\ln 2 \right) + (2\ln 2 - 1) = \frac{3}{2}\ln 2 - \frac{1}{2}$