题目
【例1.25】讨论函数f(x)=lim_(ntoinfty)(1-x^2n)/(1+x^2n)x的连续性，若有间断点，判断其类型.
【例1.25】讨论函数$f(x)=\lim_{n\to\infty}\frac{1-x^{2n}}{1+x^{2n}}x$的连续性，若有间断点，判断其类型.
题目解答
答案
求极限表达式：
1. 当 $ |x| < 1 $ 时，$ x^{2n} \to 0 $，故 $ f(x) = x $。
2. 当 $ |x| = 1 $ 时，$ x^{2n} = 1 $，故 $ f(x) = 0 $。
3. 当 $ |x| > 1 $ 时，$ x^{2n} \to \infty $，故 $ f(x) = -x $。
分段函数：
\[
f(x) = \begin{cases}
x & |x| < 1, \\
0 & |x| = 1, \\
-x & |x| > 1.
\end{cases}
\]
连续性分析：
- 在 $ x = 1 $ 处，左极限为1，右极限为-1，不连续（跳跃间断点）。
- 在 $ x = -1 $ 处，左极限为1，右极限为-1，不连续（跳跃间断点）。
**答案：**
函数在 $ (-\infty, -1) $，$ (-1, 1) $，$ (1, +\infty) $ 上连续，在 $ x = \pm 1 $ 处有第一类跳跃间断点。