题目

7.设X1,X2,···, _(n)(ngeqslant 3) 是来自总体X的样本, (X)=mu , (X)=(sigma )^2, μ,σ未知,则-|||-下列估计量中最有效的估计量是 ()-|||-(A) dfrac ({X)_(1)+(X)_(n)}(3) (B) dfrac ({X)_(1)+(X)_(n)}(2) (C) X1 (D) X

题目解答

答案

解析

本题考查估计量的有效性。估计量的有效性是在无偏估计的基础上进行比较的，方差越小的无偏估计量越有效。下面我们分别分析每个选项：

  1. 选项A：
    • 首先求$\frac{X_1 + X_n}{3}$的期望，根据期望的线性性质$E(aY + bZ)=aE(Y)+bE(Z)$（其中$a,b$为常数，$Y,Z$为随机变量），可得：
      $E(\frac{X_1 + X_n}{3})=\frac{1}{3}(E(X_1)+E(X_n))$
      因为$X_1,X_2,\cdots,X_n$是来自总体$X$的样本，所以$E(X_1)=E(X_n)=\mu$，则$E(\frac{X_1 + X_n}{3})=\frac{1}{3}(\mu+\mu)=\frac{2}{3}\mu\neq\mu$。
    • 由于$\frac{X_1 + X_n}{3}$不是$\mu$的无偏估计，而有效性是度量无偏估计优劣的准则，所以选项A不正确。
  2. 选项B：
    • 求$\frac{X_1 + X_n}{2}$的期望，同样根据期望的线性性质：
      $E(\frac{X_1 + X_n}{2})=\frac{1}{2}(E(X_1)+E(X_n))=\frac{1}{2}(\mu+\mu)=\mu$
      所以$\frac{X_1 + X_n}{2}$是$\mu$的无偏估计。
    • 再求$\frac{X_1 + X_n}{2}$的方差，根据方差的性质$D(aY + bZ)=a^2D(Y)+b^2D(Z)$（当$Y,Z$相互独立时），可得：
      $D(\frac{X_1 + X_n}{2})=\frac{1}{4}(D(X_1)+D(X_n))$
      因为$D(X_1)=D(X_n)=\sigma^2$，所以$D(\frac{X_1 + X_n}{2})=\frac{1}{4}(\sigma^2+\sigma^2)=\frac{1}{2}\sigma^2$。
  3. 选项C：
    • 求$X_1$的期望，$E(X_1)=\mu$，所以$X_1$是$\mu$的无偏估计。
    • 求$X_1$的方差，$D(X_1)=\sigma^2$。
  4. 选项D：
    • 求$\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}X_i$的期望，根据期望的线性性质：
      $E(\overline{X})=E(\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}X_i)=\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}E(X_i)$
      因为$E(X_i)=\mu$（$i = 1,2,\cdots,n$），所以$E(\overline{X})=\frac{1}{n}\cdot n\mu=\mu$，即$\overline{X}$是$\mu$的无偏估计。
    • 求$\overline{X}$的方差，根据方差的性质：
      $D(\overline{X})=D(\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}X_i)=\frac{1}{n^2}\sum_{i = 1}^{n}D(X_i)$
      因为$D(X_i)=\sigma^2$（$i = 1,2,\cdots,n$），所以$D(\overline{X})=\frac{1}{n^2}\cdot n\sigma^2=\frac{1}{n}\sigma^2$（$n\geqslant3$）。
  5. 比较方差大小：
    • 比较选项B、C、D中估计量的方差，$\sigma^2\gt{}\frac{1}{2}\sigma^2\gt{}\frac{1}{n}\sigma^2$（$n\geqslant3$）。
    • 方差越小的无偏估计量越有效，所以选项D的$\overline{X}$估计量最有效。