4.求 '=dfrac (x-y)(x+y) 的通解.

本题考查可化为齐次方程的一阶微分方程的求解，关键是通过变量替换将方程转化为可分离变量的方程，进而求解。

步骤1：判断方程类型并作变量替换

给定方程 $y' = \frac{x - y}{x + y}$，这是一个齐次方程（右边分子分母均为一次多项式）。对于齐次方程 $y' = F\left(\frac{y}{x}\right)$，通常令 $u = \frac{y}{x}$（即 $y = ux$），则 $y' = u + x\frac{du}{dx}$，代入方程可分离分离分离变量的方程。

步骤2：代入变量替换化简方程

令 $u = \frac{y}{x}$，则 $y = ux$，$y' = u + x\frac{du}{dx}$。代入原方程：
$u + x\frac{du}{dx} = \frac{x - ux}{x + ux} = \frac{1 - u}{1 + u}$
移项整理得：
$x\frac{du}{dx} = \frac{1 - u}{1 + u} - u = \frac{1 - u - u(1 + u)}{1 + u} = \frac{1 - 2u - u^2}{1 + u}$

步骤3：分离变量并积分

分离变量：
$\frac{1 + u}{1 - 2u - u^2} du = \frac{1}{x} dx$
两边积分：
左边积分：令 $v = 1 - 2u - u^2$，则 $dv = (-2 - 2u)du = -2(1 + u)du$，故 $\frac{1 + u}{v} du = -\frac{1}{2} \frac{dv}{v}$，积分得 $-\frac{1}{2}\ln|v| + C_1 = -\frac{1}{2}\ln|1 - 2u - u^2| + C_1$。
右边积分：$\ln|x| + C_2$。

步骤4：回代并化简

合并积分结果：
$-\frac{1}{2}\ln|1 - 2u - u^2| = \ln|x| + C \quad (C = C_2 - C_1)$
两边消去对数：
$1 - 2u - u^2 = \frac{C}{x^2} \quad (C \text{为任意常数})$
回代 $u = \frac{y}{x}$：
$1 - 2\left(\frac{y}{x}\right) - \left(\frac{y}{x}\right)^2 = \frac{C}{x^2}$
两边同乘 $x^2$：
$x^2 - 2xy - y^2 = C$
整理得：
$-x^2 + 2xy + y^2 = C \quad (C \text{为任意常数})$