-4. 一质点沿x轴作简谐振动,振幅为12c cm,周期为2s。当 t=0 时,位移-|||-为6cm,且向x轴正方向运动。求:(1)振动表达式;(2) t=0.5s 时,质点的-|||-位置、速度和加速度;(3)如果在某时刻质点位于 =-6cm, 且向x轴负方向-|||-运动,求从该位置回到平衡位置所需要的时间。

步骤 1：确定振动方程
根据题意，质点沿x轴作简谐振动，振幅为12 cm，周期为2s。当 t=0 时，位移为6cm，且向x轴正方向运动。首先，我们需要确定振动方程。简谐振动的方程可以表示为：
\[ x(t) = A \cos(\omega t + \varphi) \]
其中，A是振幅，ω是角频率，φ是初相位。根据题目，A=12 cm，T=2s，因此角频率ω=2π/T=π rad/s。当t=0时，x=6cm，且速度为正，因此可以确定初相位φ。
步骤 2：确定初相位
当t=0时，x=6cm，代入振动方程，得到：
\[ 6 = 12 \cos(\varphi) \]
解得：
\[ \cos(\varphi) = \frac{1}{2} \]
因此，φ=-π/3（因为速度为正，所以选择负值）。
步骤 3：计算t=0.5s时的位置、速度和加速度
将t=0.5s代入振动方程，得到：
\[ x(0.5) = 12 \cos(\pi \times 0.5 - \frac{\pi}{3}) = 12 \cos(\frac{\pi}{6}) = 12 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3} \approx 10.4 \text{ cm} \]
速度v(t)是x(t)对时间t的导数，即：
\[ v(t) = -A\omega \sin(\omega t + \varphi) \]
将t=0.5s代入，得到：
\[ v(0.5) = -12\pi \sin(\pi \times 0.5 - \frac{\pi}{3}) = -12\pi \sin(\frac{\pi}{6}) = -12\pi \times \frac{1}{2} = -6\pi \approx -18.8 \text{ cm/s} \]
加速度a(t)是v(t)对时间t的导数，即：
\[ a(t) = -A\omega^2 \cos(\omega t + \varphi) \]
将t=0.5s代入，得到：
\[ a(0.5) = -12\pi^2 \cos(\pi \times 0.5 - \frac{\pi}{3}) = -12\pi^2 \cos(\frac{\pi}{6}) = -12\pi^2 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = -6\sqrt{3}\pi^2 \approx -103 \text{ cm/s}^2 \]
步骤 4：计算从x=-6cm回到平衡位置所需时间
当质点位于x=-6cm时，且向x轴负方向运动，即x=-A/2，且速度为负。此时，初相位φ=2π/3。回到平衡位置需要走π/3，因此所需时间t=Δφ/ω=(π/3)/(π)=1/3s。