题目
1.下列各题中,哪些数列收敛,哪些数列发散?对收敛数列,通过观察(xn)的变化趋势,-|||-写出它们的极限:-|||-(1) dfrac {1)({2)^n}} ;
题目解答
答案
解析
步骤 1：观察数列的变化趋势
观察数列 $\{x_n\} = \{\frac{1}{2^n}\}$，随着 $n$ 的增加，$2^n$ 也增加，因此 $\frac{1}{2^n}$ 逐渐减小，趋向于 $0$。
步骤 2：应用极限定义
根据极限的定义，如果对于任意的 $\epsilon > 0$，存在一个正整数 $N$，使得当 $n > N$ 时，$|\frac{1}{2^n} - 0| < \epsilon$，则数列 $\{\frac{1}{2^n}\}$ 收敛于 $0$。
步骤 3：验证极限
对于任意的 $\epsilon > 0$，选择 $N$ 使得 $2^N > \frac{1}{\epsilon}$，则当 $n > N$ 时，$|\frac{1}{2^n} - 0| = \frac{1}{2^n} < \frac{1}{2^N} < \epsilon$，因此数列 $\{\frac{1}{2^n}\}$ 收敛于 $0$。
观察数列 $\{x_n\} = \{\frac{1}{2^n}\}$，随着 $n$ 的增加，$2^n$ 也增加，因此 $\frac{1}{2^n}$ 逐渐减小，趋向于 $0$。
步骤 2：应用极限定义
根据极限的定义，如果对于任意的 $\epsilon > 0$，存在一个正整数 $N$，使得当 $n > N$ 时，$|\frac{1}{2^n} - 0| < \epsilon$，则数列 $\{\frac{1}{2^n}\}$ 收敛于 $0$。
步骤 3：验证极限
对于任意的 $\epsilon > 0$，选择 $N$ 使得 $2^N > \frac{1}{\epsilon}$，则当 $n > N$ 时，$|\frac{1}{2^n} - 0| = \frac{1}{2^n} < \frac{1}{2^N} < \epsilon$，因此数列 $\{\frac{1}{2^n}\}$ 收敛于 $0$。