题目
设单位质点 P, Q 分别位于点 (0,0) 和 (0,1) 处，P 从点 (0,0) 出发沿 x 轴正向移动，记 G 为引力常量，则当质点 P 移动到点 (1,0) 时，克服质点 Q 的引力所做的功为(）。 A. int_(0)^1 (G)/(x^2 + 1) dxB. int_(0)^1 (Gx)/((x^2 + 1)^3/2) dxC. int_(0)^1 (G)/((x^2 + 1)^3/2) dxD. int_(0)^1 (G(x+1))/((x^2 + 1)^3/2) dx
设单位质点 $P, Q$ 分别位于点 $(0,0)$ 和 $(0,1)$ 处，$P$ 从点 $(0,0)$ 出发沿 $x$ 轴正向移动，记 $G$ 为引力常量，则当质点 $P$ 移动到点 $(1,0)$ 时，克服质点 $Q$ 的引力所做的功为(）。
- A. $\int_{0}^{1} \frac{G}{x^2 + 1} dx$
- B. $\int_{0}^{1} \frac{Gx}{(x^2 + 1)^{3/2}} dx$
- C. $\int_{0}^{1} \frac{G}{(x^2 + 1)^{3/2}} dx$
- D. $\int_{0}^{1} \frac{G(x+1)}{(x^2 + 1)^{3/2}} dx$
题目解答
答案
为了确定当质点 $ P $ 从点 $ (0,0) $ 移动到点 $ (l,0) $ 时，克服质点 $ Q $ 的引力所做的功，我们需要遵循以下步骤：
1. **计算质点 $ P $ 和 $ Q $ 之间的引力：**
质点 $ P $ 和 $ Q $ 之间的引力 $ F $ 由万有引力定律给出：
\[
F = \frac{G m_1 m_2}{r^2}
\]
其中 $ m_1 $ 和 $ m_2 $ 是质点的质量，$ r $ 是它们之间的距离。由于两个质点都是单位质量，$ m_1 = m_2 = 1 $，所以引力简化为：
\[
F = \frac{G}{r^2}
\]
质点 $ P $ 在 $ (x,0) $ 处，质点 $ Q $ 在 $ (0,1) $ 处时，它们之间的距离 $ r $ 为：
\[
r = \sqrt{x^2 + 1}
\]
因此，引力为：
\[
F = \frac{G}{x^2 + 1}
\]
2. **确定引力在 $ P $ 移动方向上的分量：**
引力 $ F $ 的方向是沿着连接 $ P $ 和 $ Q $ 的直线。这个力在 $ x $-方向上的分量 $ F_x $ 为：
\[
F_x = F \cos \theta
\]
其中 $ \theta $ 是引力方向与 $ x $-轴之间的角度。从图中，我们有：
\[
\cos \theta = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}
\]
因此， $ x $-方向上的引力分量为：
\[
F_x = \frac{G}{x^2 + 1} \cdot \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} = \frac{Gx}{(x^2 + 1)^{3/2}}
\]
3. **计算克服引力所做的功：**
克服引力所做的功 $ W $ 是在 $ P $ 移动方向上力的分量与 $ P $ 移动的距离的乘积。由于 $ P $ 从 $ x = 0 $ 移动到 $ x = l $，所做的功为：
\[
W = \int_{0}^{l} -F_x \, dx = \int_{0}^{l} -\frac{Gx}{(x^2 + 1)^{3/2}} \, dx
\]
由于问题要求 $ l = 1 $ 时的功，我们有：
\[
W = \int_{0}^{1} -\frac{Gx}{(x^2 + 1)^{3/2}} \, dx
\]
由于所做的功是克服引力的，我们取积分的绝对值，这与正的积分相同：
\[
W = \int_{0}^{1} \frac{Gx}{(x^2 + 1)^{3/2}} \, dx
\]
因此，正确答案是：
\[
\boxed{B}
\]
解析
考查要点：本题主要考查万有引力定律的应用及变力做功的计算，需要结合微积分中的积分思想求解。
解题核心思路：
- 确定引力大小：根据万有引力公式，计算两质点间的引力大小。
- 分解引力方向：将引力沿质点P运动方向（x轴）分解，得到有效分力。
- 积分求功：对分力在运动路径上积分，得到克服引力所做的功。
破题关键点：
- 引力方向与运动方向的夹角：需通过几何关系确定分力表达式。
- 积分变量的正确表达：注意分力随位置变化的规律，正确建立积分式。
步骤1：计算引力大小
质点$P$在位置$(x,0)$时，与$Q(0,1)$的距离为：
$r = \sqrt{x^2 + 1}$
根据万有引力公式，引力大小为：
$F = \frac{G}{r^2} = \frac{G}{x^2 + 1}$
步骤2：分解引力的x分量
引力方向沿连线$PQ$，与x轴的夹角$\theta$满足：
$\cos\theta = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}$
因此，x方向的分力为：
$F_x = F \cos\theta = \frac{G}{x^2 + 1} \cdot \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} = \frac{Gx}{(x^2 + 1)^{3/2}}$
步骤3：计算克服引力的功
质点$P$从$x=0$移动到$x=1$，克服引力所做的功为：
$W = \int_{0}^{1} F_x \, dx = \int_{0}^{1} \frac{Gx}{(x^2 + 1)^{3/2}} \, dx$
关键结论：正确答案对应选项B，积分表达式为$\int_{0}^{1} \frac{Gx}{(x^2 + 1)^{3/2}} dx$。