求变力overrightarrow (F')=(2x-y,3y+x)将质点沿椭圆overrightarrow (F')=(2x-y,3y+x)的正向转动一周所做的功。

考查要点：本题主要考查第二类曲线积分的计算，以及格林公式的应用。需要将变力所做的功转化为曲线积分，并利用格林公式将其转化为二重积分，结合椭圆面积公式求解。

解题核心思路：

1. 物理意义转化：根据功的定义，将变力所做的功转化为第二类曲线积分。
2. 格林公式应用：判断曲线闭合性后，应用格林公式将曲线积分转化为二重积分。
3. 椭圆面积计算：通过椭圆标准方程确定半轴长，利用面积公式计算区域面积。

破题关键点：

• 偏导数计算：正确计算$\frac{\partial Q}{\partial x}$和$\frac{\partial P}{\partial y}$。
• 椭圆方程标准化：将原方程转化为标准椭圆形式，确定半轴长度。
• 面积公式应用：直接利用椭圆面积公式简化积分计算。

步骤1：建立曲线积分表达式

根据功的定义，变力$\overrightarrow{F'}=(2x-y, 3y+x)$所做的功为：
$W = \int_L (2x - y)dx + (3y + x)dy$

步骤2：应用格林公式

椭圆$4x^2 + y^2 = 4$是闭合曲线，满足格林公式条件。设$P = 2x - y$，$Q = 3y + x$，则：
$\frac{\partial Q}{\partial x} = 1, \quad \frac{\partial P}{\partial y} = -1$
代入格林公式：
$W = \iint_D \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) dxdy = \iint_D (1 - (-1)) dxdy = 2 \iint_D dxdy$

步骤3：计算区域面积

将椭圆方程标准化：
$\frac{x^2}{1^2} + \frac{y^2}{2^2} = 1$
椭圆面积为：
$S = \pi \cdot 1 \cdot 2 = 2\pi$

步骤4：求最终结果

代入面积得：
$$
W = 2 \cdot 2\pi = 4\pi

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