题目
6.4 一粒子在一维势阱中 U(x)= U0>0 |>a 0 |≤a 运动,求束缚态 (0lt Elt (U)_(0)) 的能级所满足的方程。
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定势阱内外的薛定谔方程
在势阱内部，即 $|x| \leqslant a$，势能 $U(x) = 0$，所以薛定谔方程为：
$$-\frac{\hbar^2}{2\mu}\frac{d^2\psi(x)}{dx^2} = E\psi(x)$$
其中 $\mu$ 是粒子的质量，$\hbar$ 是约化普朗克常数，$E$ 是粒子的能量。解这个方程，得到：
$$\psi(x) = A\sin(k_2x) + B\cos(k_2x)$$
其中 $k_2 = \sqrt{\frac{2\mu E}{\hbar^2}}$。
步骤 2：确定势阱外的薛定谔方程
在势阱外部，即 $|x| > a$，势能 $U(x) = U_0$，所以薛定谔方程为：
$$-\frac{\hbar^2}{2\mu}\frac{d^2\psi(x)}{dx^2} = (E-U_0)\psi(x)$$
由于 $E < U_0$，所以 $(E-U_0)$ 是负的，解这个方程，得到：
$$\psi(x) = C\exp(-k_1|x|)$$
其中 $k_1 = \sqrt{\frac{2\mu(U_0-E)}{\hbar^2}}$。
步骤 3：应用边界条件
为了保证波函数在 $x = \pm a$ 处连续，需要满足边界条件：
$$\psi(a) = \psi(-a)$$
$$\psi'(a) = \psi'(-a)$$
将步骤 1 和步骤 2 中的波函数代入边界条件，得到：
$$A\sin(k_2a) + B\cos(k_2a) = C\exp(-k_1a)$$
$$A\cos(k_2a) - B\sin(k_2a) = -C\exp(-k_1a)$$
解这个方程组，得到：
$$\tan(k_2a) = \frac{2k_1}{k_2^2 - k_1^2}$$
在势阱内部，即 $|x| \leqslant a$，势能 $U(x) = 0$，所以薛定谔方程为：
$$-\frac{\hbar^2}{2\mu}\frac{d^2\psi(x)}{dx^2} = E\psi(x)$$
其中 $\mu$ 是粒子的质量，$\hbar$ 是约化普朗克常数，$E$ 是粒子的能量。解这个方程，得到：
$$\psi(x) = A\sin(k_2x) + B\cos(k_2x)$$
其中 $k_2 = \sqrt{\frac{2\mu E}{\hbar^2}}$。
步骤 2：确定势阱外的薛定谔方程
在势阱外部，即 $|x| > a$，势能 $U(x) = U_0$，所以薛定谔方程为：
$$-\frac{\hbar^2}{2\mu}\frac{d^2\psi(x)}{dx^2} = (E-U_0)\psi(x)$$
由于 $E < U_0$，所以 $(E-U_0)$ 是负的，解这个方程，得到：
$$\psi(x) = C\exp(-k_1|x|)$$
其中 $k_1 = \sqrt{\frac{2\mu(U_0-E)}{\hbar^2}}$。
步骤 3：应用边界条件
为了保证波函数在 $x = \pm a$ 处连续，需要满足边界条件：
$$\psi(a) = \psi(-a)$$
$$\psi'(a) = \psi'(-a)$$
将步骤 1 和步骤 2 中的波函数代入边界条件，得到：
$$A\sin(k_2a) + B\cos(k_2a) = C\exp(-k_1a)$$
$$A\cos(k_2a) - B\sin(k_2a) = -C\exp(-k_1a)$$
解这个方程组，得到：
$$\tan(k_2a) = \frac{2k_1}{k_2^2 - k_1^2}$$