题目

17.分别使用金球和铂球测定引力常数(以 ^-11(m)^3cdot k(g)^-1cdot (s)^-2 计).-|||-(1)用金球测定观察值为6.683,6.681,6.676,6.678.6.679,6.672.-|||-(2)用铂球测定观察值为6.661,6.661,6.667,6.667,6.664.-|||-设测定值总体为N(μ,σ^2),μ,0 ^2均为未知,试就(1),(2)两种情况分别求μ的置信水平为0.9的-|||-置信区间,并求a^2的置信水平为0.9的置信区间.

题目解答

答案

解析

本题主要考查在总体服从正态分布 $N(\mu,\sigma^{2})$ 且 $\mu$，$\sigma^{2}$ 均未知的情况下，求总体均值 $\mu$ 和总体方差 $\sigma^{2}$ 的置信区间。解题思路如下：

  1. 求均值 $\mu$ 的置信区间：
    • 当总体方差 $\sigma^{2}$ 未知时，使用 $t$ 分布来构造均值 $\mu$ 的置信区间，公式为 $(\overline{X}-\frac{S_{n}}{\sqrt{n}}t_{\frac{\alpha}{2}}(n - 1),\overline{X}+\frac{S_{n}}{\sqrt{n}}t_{\frac{\alpha}{2}}(n - 1))$，其中 $\overline{X}$ 是样本均值，$S_{n}$ 是样本标准差，$n$ 是样本容量，$t_{\frac{\alpha}{2}}(n - 1)$ 是自由度为 $n - 1$ 的 $t$ 分布的上 $\frac{\alpha}{2}$ 分位数。
    • 首先计算样本均值 $\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}x_{i}$ 和样本方差 $S^{2}=\frac{1}{n - 1}\sum_{i = 1}^{n}(x_{i}-\overline{X})^{2}$。
    • 然后根据给定的置信水平 $1-\alpha$ 确定 $\frac{\alpha}{2}$ 的值，再通过查 $t$ 分布表得到 $t_{\frac{\alpha}{2}}(n - 1)$ 的值。
    • 最后将计算得到的 $\overline{X}$，$S$，$n$ 和 $t_{\frac{\alpha}{2}}(n - 1)$ 代入置信区间公式，得到均值 $\mu$ 的置信区间。
  2. 求方差 $\sigma^{2}$ 的置信区间：
    • 当总体均值 $\mu$ 未知时，使用 $\chi^{2}$ 分布来构造方差 $\sigma^{2}$ 的置信区间，公式为 $(\frac{(n - 1)S^{2}}{\chi_{\frac{\alpha}{2}}^{2}(n - 1)},\frac{(n - 1)S^{2}}{\chi_{1-\frac{\alpha}{2}}^{2}(n - 1)})$，其中 $\chi_{\frac{\alpha}{2}}^{2}(n - 1)$ 和 $\chi_{1-\frac{\alpha}{2}}^{2}(n - 1)$ 分别是自由度为 $n - 1$ 的 $\chi^{2}$ 分布的上 $\frac{\alpha}{2}$ 分位数和下 $\frac{\alpha}{2}$ 分位数。
    • 根据给定的置信水平 $1-\alpha$ 确定 $\frac{\alpha}{2}$ 的值，再通过查 $\chi^{2}$ 分布表得到 $\chi_{\frac{\alpha}{2}}^{2}(n - 1)$ 和 $\chi_{1-\frac{\alpha}{2}}^{2}(n - 1)$ 的值。
    • 最后将前面计算得到的 $S^{2}$，$n$ 以及查得的 $\chi_{\frac{\alpha}{2}}^{2}(n - 1)$ 和 $\chi_{1-\frac{\alpha}{2}}^{2}(n - 1)$ 代入置信区间公式，得到方差 $\sigma^{2}$ 的置信区间。

（1）求均值 $\mu$ 的置信区间

已知 $1-\alpha = 0.9$，则 $\alpha = 0.1$，$\frac{\alpha}{2}=0.05$。

  • 金球测定情况：
    • 样本容量 $n_{1}=6$，样本值为 $6.683,6.681,6.676,6.678,6.679,6.672$。
    • 计算样本均值 $\overline{x}_{1}=\frac{1}{n_{1}}\sum_{i = 1}^{n_{1}}x_{i}=\frac{1}{6}(6.683 + 6.681+6.676+6.678+6.679+6.672)$
      $=\frac{1}{6}\times40.069 = 6.678$。
    • 计算样本方差 $S_{1}^{2}=\frac{1}{n_{1}-1}\sum_{i = 1}^{n_{1}}(x_{i}-\overline{x}_{1})^{2}$
      $=\frac{1}{5}[(6.683 - 6.678)^{2}+(6.681 - 6.678)^{2}+(6.676 - 6.678)^{2}+(6.678 - 6.678)^{2}+(6.679 - 6.678)^{2}+(6.672 - 6.678)^{2}]$
      $=\frac{1}{5}(0.000025 + 0.000009+0.000004 + 0+0.000001+0.000036)=0.15\times10^{-4}$。
    • 查 $t$ 分布表得 $t_{\frac{\alpha}{2}}(n_{1}-1)=t_{0.05}(5)=2.0150$。
    • 样本标准差 $S_{1}=\sqrt{S_{1}^{2}}=\sqrt{0.15\times10^{-4}}$。
    • 均值 $\mu$ 的置信区间为 $(\overline{x}_{1}-\frac{S_{1}}{\sqrt{n_{1}}}t_{0.05}(5),\overline{x}_{1}+\frac{S_{1}}{\sqrt{n_{1}}}t_{0.05}(5))$
      $=(6.678-\frac{\sqrt{0.15\times10^{-4}}}{\sqrt{6}}\times2.0150,6.678+\frac{\sqrt{0.15\times10^{-4}}}{\sqrt{6}}\times2.0150)$
      $=(6.678 - 0.003,6.678+0.003)=(6.675,6.681)$。
  • 铂球测定情况：
    • 样本容量 $n_{2}=5$，样本值为 $6.661,6.661,6.667,6.667,6.664$。
    • 计算样本均值 $\overline{x}_{2}=\frac{1}{n_{2}}\sum_{i = 1}^{n_{2}}x_{i}=\frac{1}{5}(6.661 + 6.661+6.667+6.667+6.664)$
      $=\frac{1}{5}\times33.32 = 6.664$。
    • 计算样本方差 $S_{2}^{2}=\frac{1}{n_{2}-1}\sum_{i = 1}^{n_{2}}(x_{i}-\overline{x}_{2})^{2}$
      $=\frac{1}{4}[(6.661 - 6.664)^{2}+(6.661 - 6.664)^{2}+(6.667 - 6.664)^{2}+(6.667 - 6.664)^{2}+(6.664 - 6.664)^{2}]$
      $=\frac{1}{4}(0.000009+0.000009+0.000009+0.000009+0)=0.9\times10^{-5}$。
    • 查 $t$ 分布表得 $t_{\frac{\alpha}{2}}(n_{2}-1)=t_{0.05}(4)=2.1318$。
    • 样本标准差 $S_{2}=\sqrt{S_{2}^{2}}=\sqrt{0.9\times10^{-5}}$。
    • 均值 $\mu$ 的置信区间为 $(\overline{x}_{2}-\frac{S_{2}}{\sqrt{n_{2}}}t_{0.05}(4),\overline{x}_{2}+\frac{S_{2}}{\sqrt{n_{2}}}t_{0.05}(4))$
      $=(6.664-\frac{\sqrt{0.9\times10^{-5}}}{\sqrt{5}}\times2.1318,6.664+\frac{\sqrt{0.9\times10^{-5}}}{\sqrt{5}}\times2.1318)$
      $=(6.664 - 0.003,6.664+0.003)=(6.661,6.667)$。

（2）求方差 $\sigma^{2}$ 的置信区间

  • 金球测定情况：
    • 已知 $n_{1}-1 = 5$，$S_{1}^{2}=0.15\times10^{-4}$。
    • 查 $\chi^{2}$ 分布表得 $\chi_{\frac{\alpha}{2}}^{2}(n_{1}-1)=\chi_{0.05}^{2}(5)=11.071$，$\chi_{1-\frac{\alpha}{2}}^{2}(n_{1}-1)=\chi_{0.95}^{2}(5)=1.145$。
    • 方差 $\sigma^{2}$ 的置信区间为 $(\frac{(n_{1}-1)S_{1}^{2}}{\chi_{0.05}^{2}(5)},\frac{(n_{1}-1)S_{1}^{2}}{\chi_{0.95}^{2}(5)})$
      $=(\frac{5\times0.15\times10^{-4}}{11.071},\frac{5\times0.15\times10^{-4}}{1.145})$
      $=(6.774\times10^{-6},6.550\times10^{-5})$。
  • 铂球测定情况：
    • 已知 $n_{2}-1 = 4$，$S_{2}^{2}=0.9\times10^{-5}$。
    • 查 $\chi^{2}$ 分布表得 $\chi_{\frac{\alpha}{2}}^{2}(n_{2}-1)=\chi_{0.05}^{2}(4)=9.488$，$\chi_{1-\frac{\alpha}{2}}^{2}(n_{2}-1)=\chi_{0.95}^{2}(4)=0.711$。
    • 方差 $\sigma^{2}$ 的置信区间为 $(\frac{(n_{2}-1)S_{2}^{2}}{\chi_{0.05}^{2}(4)},\frac{(n_{2}-1)S_{2}^{2}}{\chi_{0.95}^{2}(4)})$
      $=(\frac{4\times0.9\times10^{-5}}{9.488},\frac{4\times0.9\times10^{-5}}{0.711})$
      $=(3.794\times10^{-6},5.063\times10^{-5})$。