例1. 已知 f(x) 可导且 F(x)=int_(0)^x^2 f(t) , dt，则 F'(x)= ________.例2. 设 p(x)=int_(1)^sin x sin t^2 , dt，则 p'(x)= ________.例3. 设 y=int_(0)^x^2 e^t , dt，则 dy= ( )A. e^x^2 dxB. e^x^2 dxC. e^-x^2 dxD. e^x^2 2x dx

我们来逐一分析并解决这三个题目，利用微积分基本定理和链式法则。

例1. 已知 $ f(x) $ 可导，且 $ F(x) = \int_{0}^{x^2} f(t) \, dt $，求 $ F'(x) $

解题过程：

根据微积分基本定理，若 $ f(t) $ 在区间上连续，且 $ F(x) = \int_{a}^{u(x)} f(t) \, dt $，则：

$F'(x) = f(u(x)) \cdot u'(x)$

在本题中：

• $ u(x) = x^2 $
• 所以：

$F'(x) = f(x^2) \cdot \frac{d}{dx}(x^2) = f(x^2) \cdot 2x$

答案：
$F'(x) = 2x \cdot f(x^2)$

例2. 设 $ p(x) = \int_{1}^{\sin x} \sin t^2 \, dt $，求 $ p'(x) $

解题过程：

同样使用微积分基本定理和链式法则：

• 被积函数是 $ \sin t^2 $，记为 $ f(t) = \sin t^2 $
• 积分上限是 $ \sin x $，记为 $ u(x) = \sin x $

所以：

$p'(x) = f(u(x)) \cdot u'(x) = \sin((\sin x)^2) \cdot \cos x$

答案：
$p'(x) = \sin(\sin^2 x) \cdot \cos x$

例3. 设 $ y = \int_{0}^{x^2} e^t \, dt $，求 $ dy $

解题过程：

我们先求导数 $ \frac{dy}{dx} $，然后再写成微分形式。

• 被积函数是 $ e^t $
• 积分上限是 $ x^2 $

根据微积分基本定理：

$\frac{dy}{dx} = e^{x^2} \cdot \frac{d}{dx}(x^2) = e^{x^2} \cdot 2x$

所以微分是：

$dy = \frac{dy}{dx} \, dx = e^{x^2} \cdot 2x \, dx$

答案：
$\boxed{D. \ e^{x^2} \cdot 2x \, dx}$

总结答案：

• 例1：$ F'(x) = 2x \cdot f(x^2) $
• 例2：$ p'(x) = \sin(\sin^2 x) \cdot \cos x $
• 例3：$ dy = e^{x^2} \cdot 2x \, dx $（选 D）