题目
[例5] 积分 (int )_(0)^2dx(int )_(0)^sqrt (2x-{x^2)}sqrt ({x)^2+(y)^2}dy= __
题目解答
答案
解析
步骤 1：转换为极坐标形式
将直角坐标系下的积分转换为极坐标系下的积分。极坐标系下，$x=r\cos \theta$，$y=r\sin \theta$，$dxdy=rdrd\theta$。因此，$\sqrt{x^2+y^2}=r$。
步骤 2：确定积分区域
根据题目中的积分区域，$y=\sqrt{2x-x^2}$，转换为极坐标形式，得到$r=2\cos \theta$，其中$0\leqslant \theta \leqslant \dfrac{\pi}{2}$。
步骤 3：计算积分
将积分区域和被积函数转换为极坐标形式后，计算积分。
将直角坐标系下的积分转换为极坐标系下的积分。极坐标系下，$x=r\cos \theta$，$y=r\sin \theta$，$dxdy=rdrd\theta$。因此，$\sqrt{x^2+y^2}=r$。
步骤 2：确定积分区域
根据题目中的积分区域，$y=\sqrt{2x-x^2}$，转换为极坐标形式，得到$r=2\cos \theta$，其中$0\leqslant \theta \leqslant \dfrac{\pi}{2}$。
步骤 3：计算积分
将积分区域和被积函数转换为极坐标形式后，计算积分。