19.（本题满分12分）设t>0，平面有界区域D由曲线y=sqrt(x)e^-x，x=t，x=2t及x轴围成，D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积为V(t)，求V(t)的最大值.

1. **计算旋转体体积** 体积 $V(t)$ 为 \[ V(t) = \pi \int_t^{2t} x e^{-2x} \, dx \] 使用分部积分法，得 \[ \int x e^{-2x} \, dx = -\frac{x}{2} e^{-2x} - \frac{1}{4} e^{-2x} + C \] 代入上下限得 \[ V(t) = \pi \left[ -\left( t + \frac{1}{4} \right) e^{-4t} + \left( \frac{t}{2} + \frac{1}{4} \right) e^{-2t} \right] \] 2. **求导并解临界点** 求导得 \[ V'(t) = \pi t e^{-4t} (4 - e^{2t}) \] 令 $V'(t) = 0$，解得 $t = \ln 2$。 3. **判断最大值** 由导数符号知 $t = \ln 2$ 为最大值点。 4. **计算最大体积** 代入 $t = \ln 2$，得 \[ V(\ln 2) = \frac{\pi (4 \ln 2 + 3)}{64} \] **答案：** \[ \boxed{\frac{\pi (4 \ln 2 + 3)}{64}} \]