2.利用曲线积分,求下列曲线所围成的图形的面积:-|||-(1)星形线 =a(cos )^3t =a(sin )^3t;

本题考查利用曲线积分求图形面积的知识。解题思路是先明确利用曲线积分求面积的公式，再将星形线的参数方程代入公式进行计算，最后通过三角函数的积分公式求解定积分。

1. 利用曲线积分求面积公式：
   对于由参数方程$x = x(t)$，$y = y(t)$（$t$从$\alpha$到$\beta$）所表示的封闭曲线，其围成图形的面积$A=\frac{1}{2}\int_{\alpha}^{\beta}(xdy - ydx)$。
   已知星形线的参数方程为$x = a\cos^{3}t$，$y = a\sin^{3}t$，$t$从$0$变到$2\pi$。
2. 求$dx$和$dy$：
   对$x = a\cos^{3}t$求导，根据复合函数求导法则$(u^n)^\prime=nu^{n - 1}u^\prime$，可得$dx = 3a\cos^{2}t(-\sin t)dt=-3a\cos^{2}t\sin tdt$。
   对$y = a\sin^{3}t$求导，同理可得$dy = 3a\sin^{2}t\cos tdt$。
3. 代入面积公式：
   将$x$、$y$、$dx$、$dy$代入面积公式$A=\frac{1}{2}\int_{\alpha}^{\beta}(xdy - ydx)$中，得到：
   $\begin{align*}A&=\frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}[a\cos^{3}t\cdot(3a\sin^{2}t\cos t)-a\sin^{3}t\cdot(-3a\cos^{2}t\sin t)]dt\\&=\frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}(3a^{2}\cos^{4}t\sin^{2}t + 3a^{2}\sin^{4}t\cos^{2}t)dt\\&=\frac{3a^{2}}{2}\int_{0}^{2\pi}(\cos^{4}t\sin^{2}t + \sin^{4}t\cos^{2}t)dt\\&=\frac{3a^{2}}{2}\int_{0}^{2\pi}\cos^{2}t\sin^{2}t(\cos^{2}t + \sin^{2}t)dt\end{align*}$
   因为$\cos^{2}t + \sin^{2}t = 1$，所以$A=\frac{3a^{2}}{2}\int_{0}^{2\pi}\cos^{2}t\sin^{2}t dt$。
4. 化简被积函数：
   根据二倍角公式$\sin 2t = 2\sin t\cos t$，即$\sin t\cos t=\frac{1}{2}\sin 2t$，则$\cos^{2}t\sin^{2}t = (\frac{1}{2}\sin 2t)^2=\frac{1}{4}\sin^{2}2t$。
   又因为$\sin^{2}2t=\frac{1 - \cos 4t}{2}$，所以$\cos^{2}t\sin^{2}t=\frac{1}{4}\times\frac{1 - \cos 4t}{2}=\frac{1}{8}(1 - \cos 4t)$。
   则$A=\frac{3a^{2}}{2}\int_{0}^{2\pi}\frac{1}{8}(1 - \cos 4t)dt=\frac{3a^{2}}{16}\int_{0}^{2\pi}(1 - \cos 4t)dt$。
5. 计算定积分：
   根据定积分的性质$\int_{a}^{b}(f(x)+g(x))dx=\int_{a}^{b}f(x)dx+\int_{a}^{b}g(x)dx$，可得：
   $\begin{align*}A&=\frac{3a^{2}}{16}\left(\int_{0}^{2\pi}1dt - \int_{0}^{2\pi}\cos 4t dt\right)\\&=\frac{3a^{2}}{16}\left([t]_{0}^{2\pi}-\left[\frac{1}{4}\sin 4t\right]_{0}^{2\pi}\right)\\&=\frac{3a^{2}}{16}(2\pi - 0 - 0 + 0)\\&=\frac{3}{8}\pi a^{2}\end{align*}$