设入射波为 _(1)=Acos 2pi (t/T-x/lambda ) ,在 x=0 处反射,反射点为一自由端。求合成-|||-驻波的(1)表达式;(2)波节位置。

考查要点：本题主要考查驻波的形成条件、反射波的相位变化规律以及驻波波节位置的确定方法。

解题核心思路：

1. 确定反射波的表达式：根据反射点为自由端的特点，判断反射波的相位是否发生半波损失（自由端反射无相位变化）。
2. 合成驻波表达式：将入射波与反射波叠加，利用余弦函数的和差化积公式化简。
3. 求波节位置：分析驻波表达式中空间项的余弦函数为零的条件，结合驻波存在的区域（x < 0）确定波节的位置。

破题关键点：

• 自由端反射无相位变化：反射波与入射波振幅相同，相位相同，传播方向相反。
• 驻波表达式化简：通过和差化积公式将两波叠加结果转化为乘积形式。
• 波节条件：空间项余弦函数为零，结合驻波存在的区域筛选解。

第（1）题：驻波表达式

确定反射波表达式

入射波为 $y_1 = A\cos\left[2\pi\left(\frac{t}{T} - \frac{x}{\lambda}\right)\right]$，在自由端反射时无半波损失，因此反射波表达式为：
$y_2 = A\cos\left[2\pi\left(\frac{t}{T} + \frac{x}{\lambda}\right)\right]$

叠加合成驻波

将入射波与反射波相加：
$\begin{aligned}y &= y_1 + y_2 \\&= A\cos\left[2\pi\left(\frac{t}{T} - \frac{x}{\lambda}\right)\right] + A\cos\left[2\pi\left(\frac{t}{T} + \frac{x}{\lambda}\right)\right]\end{aligned}$

化简表达式

利用余弦和差公式 $\cos(A-B) + \cos(A+B) = 2\cos B \cos A$，得：
$y = 2A\cos\left(\frac{2\pi x}{\lambda}\right)\cos\left(\frac{2\pi t}{T}\right)$

第（2）题：波节位置

波节条件

波节处振动始终为零，即空间项余弦函数为零：
$\cos\left(\frac{2\pi x}{\lambda}\right) = 0$

解方程

解得：
$\frac{2\pi x}{\lambda} = \frac{(2k+1)\pi}{2} \quad (k=0,1,2,\dots)$

结合驻波区域

驻波存在于 $x < 0$，因此：
$x_k = -\frac{(2k+1)\lambda}{4} \quad (k=0,1,2,\dots)$