题目
下列关于随机变量的期望和方差的性质,不正确的是( )(1分)A. 设 X,Y 为两个随机变量,则 E(X+Y)=E(X)+E(Y)B. 设 X 为一个随机变量, a 为任意常数,则 D(X+a)=D(X)C. 设 k 为常数,则 E(kX)=kE(X)D. 设 k 为常数,则 D(kX)=kD(X)
下列关于随机变量的期望和方差的性质,不正确的是( )$(1分)$ A. 设 $X,Y$ 为两个随机变量,则 $E(X+Y)=E(X)+E(Y)$ B. 设 $X$ 为一个随机变量, $a$ 为任意常数,则 $D(X+a)=D(X)$ C. 设 $k$ 为常数,则 $E(kX)=kE(X)$ D. 设 $k$ 为常数,则 $D(kX)=kD(X)$
题目解答
答案
我们逐项分析这四个选项，判断哪个关于随机变量的期望和方差的性质是**不正确的**。
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### **A. 设 $X,Y$ 为两个随机变量，则 $E(X+Y)=E(X)+E(Y)$**
这是**正确的**。期望具有**线性性**，无论 $X$ 和 $Y$ 是否独立，都有：
$$
E(X+Y) = E(X) + E(Y)
$$
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### **B. 设 $X$ 为一个随机变量，$a$ 为任意常数，则 $D(X+a)=D(X)$**
这也是**正确的**。方差具有平移不变性，即：
$$
D(X + a) = D(X)
$$
因为加上一个常数不会改变变量的波动性。
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### **C. 设 $k$ 为常数，则 $E(kX)=kE(X)$**
这同样是**正确的**。期望具有齐次性：
$$
E(kX) = kE(X)
$$
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### **D. 设 $k$ 为常数，则 $D(kX)=kD(X)$**
这是**不正确的**。正确的性质是：
$$
D(kX) = k^2 D(X)
$$
因为方差具有**平方齐次性**，而不是线性齐次性。
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### ✅ 正确答案是：**D**
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### **总结：**
- A 正确（期望的线性性）
- B 正确（方差的平移不变性）
- C 正确（期望的齐次性）
- **D 错误（方差应是 $k^2 D(X)$，不是 $k D(X)$）**
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### **最终答案：**
$$
\boxed{D}
$$
解析
本题考查随机变量的期望与方差的基本性质，需判断四个选项中哪一个是不正确的。关键点在于：
- 期望的线性性：无论随机变量是否独立，期望的和等于和的期望；
- 方差的平移不变性：加常数不改变方差；
- 方差的齐次性：方差与常数的平方相关，而非线性相关。
A. $E(X+Y)=E(X)+E(Y)$
正确。期望具有线性性，无论$X$和$Y$是否独立，均成立：
$E(X+Y) = E(X) + E(Y)$
B. $D(X+a)=D(X)$
正确。方差具有平移不变性，加常数$a$不改变变量的波动性：
$D(X + a) = D(X)$
C. $E(kX)=kE(X)$
正确。期望具有齐次性，常数$k$可提取：
$E(kX) = kE(X)$
D. $D(kX)=kD(X)$
不正确。方差具有平方齐次性，正确公式为：
$D(kX) = k^2 D(X)$