计算定积分 (int )_(-1)^1(dfrac (x)(sqrt {5-4x)}+dfrac (xcos x)(1+{x)^4})dx. (8分)-|||-__

考查要点：本题主要考查定积分的计算，特别是利用奇偶函数的对称性简化积分，以及通过变量代换法处理复杂积分。

解题核心思路：

1. 拆分积分：将积分拆分为两个部分，分别处理。
2. 奇偶性判断：第二部分被积函数为奇函数，在对称区间积分结果为0。
3. 变量代换：对第一部分进行变量代换，转化为容易计算的积分形式。

破题关键点：

• 识别奇函数：第二部分被积函数为奇函数，直接得出积分值为0。
• 变量代换简化计算：通过代换$u=5-4x$，将第一部分积分转化为关于$u$的简单积分。

第一部分积分 $\int_{-1}^{1} \dfrac{x}{\sqrt{5-4x}} dx$

变量代换

令 $u = 5 - 4x$，则 $du = -4dx$，即 $dx = -\dfrac{du}{4}$。当$x=-1$时，$u=9$；当$x=1$时，$u=1$。此时积分变为：
$\begin{aligned}\int_{9}^{1} \dfrac{\dfrac{5-u}{4}}{\sqrt{u}} \cdot \left(-\dfrac{du}{4}\right) &= \dfrac{1}{16} \int_{1}^{9} \dfrac{5-u}{\sqrt{u}} du \\&= \dfrac{1}{16} \int_{1}^{9} \left(5u^{-1/2} - u^{1/2}\right) du\end{aligned}$

分项积分

分别计算两部分：

1. $\int 5u^{-1/2} du = 10u^{1/2}$，代入上下限得 $10(3 - 1) = 20$；
2. $\int u^{1/2} du = \dfrac{2}{3}u^{3/2}$，代入上下限得 $\dfrac{2}{3}(27 - 1) = \dfrac{52}{3}$。

合并结果

$\dfrac{1}{16} \left(20 - \dfrac{52}{3}\right) = \dfrac{1}{16} \cdot \dfrac{8}{3} = \dfrac{1}{6}$

第二部分积分 $\int_{-1}^{1} \dfrac{x \cos x}{1+x^4} dx$

奇偶性判断

被积函数为奇函数（$f(-x) = -f(x)$），在对称区间$[-1,1]$上的积分为0。