题目
5.（简答题，10.0分）求y^primeprime=1+y^prime 2的通解
5.（简答题，10.0分）
求$y^{\prime\prime}=1+y^{\prime 2}$的通解
题目解答
答案
### 问题解析
题目要求解微分方程 $ y'' = 1 + (y')^2 $ 的通解。
1. **设 $ y' = p $**：
令 $ y' = p $，则 $ y'' = \frac{dp}{dx} $。原方程可以改写为：
\[
\frac{dp}{dx} = 1 + p^2
\]
2. **分离变量**：
将方程分离变量，得到：
\[
\frac{dp}{1 + p^2} = dx
\]
3. **积分**：
对两边积分：
\[
\int \frac{dp}{1 + p^2} = \int dx
\]
左边的积分是一个标准的反正切函数的积分：
\[
\arctan(p) = x + C_1
\]
其中 $ C_1 $ 是积分常数。
4. **解出 $ p $**：
从上式解出 $ p $：
\[
p = \tan(x + C_1)
\]
回忆 $ p = y' $，所以：
\[
y' = \tan(x + C_1)
\]
5. **再次积分**：
对 $ y' $ 进行积分，得到 $ y $：
\[
y = \int \tan(x + C_1) \, dx
\]
为了方便积分，设 $ u = x + C_1 $，则 $ du = dx $，积分变为：
\[
y = \int \tan(u) \, du
\]
\[
y = -\ln|\cos(u)| + C_2
\]
代回 $ u = x + C_1 $：
\[
y = -\ln|\cos(x + C_1)| + C_2
\]
6. **最终通解**：
通解可以写为：
\[
y = -\ln|\cos(x + C_1)| + C_2
\]
其中 $ C_1 $ 和 $ C_2 $ 是任意常数。
### 答案
微分方程 $ y'' = 1 + (y')^2 $ 的通解为：
\[
y = -\ln|\cos(x + C_1)| + C_2
\]
其中 $ C_1 $ 和 $ C_2 $ 是任意常数。
解析
考查要点：本题主要考查二阶微分方程的降阶解法，特别是通过变量替换将二阶方程转化为一阶方程，再利用分离变量法求解。
解题核心思路：
- 降阶处理：令$y' = p$，将原方程转化为关于$p$的一阶微分方程。
- 分离变量积分：对转化后的一阶方程分离变量并积分，得到$p$关于$x$的表达式。
- 二次积分：将$p = y'$代入，再次积分得到$y$的通解。
破题关键点：
- 变量替换：通过设$y' = p$，将二阶方程降为一阶方程。
- 积分技巧：利用$\int \frac{1}{1 + p^2} dp = \arctan p$和$\int \tan u \, du = -\ln|\cos u|$完成积分。
步骤1：变量替换
设$y' = p$，则$y'' = \frac{dp}{dx}$。原方程变为：
$\frac{dp}{dx} = 1 + p^2$
步骤2：分离变量并积分
将方程改写为：
$\frac{dp}{1 + p^2} = dx$
两边积分得：
$\arctan p = x + C_1$
解得：
$p = \tan(x + C_1)$
步骤3：二次积分求$y$
将$p = y' = \tan(x + C_1)$代入，积分得：
$y = \int \tan(x + C_1) \, dx$
令$u = x + C_1$，则$du = dx$，积分变为：
$y = \int \tan u \, du = -\ln|\cos u| + C_2 = -\ln|\cos(x + C_1)| + C_2$
最终通解：
$y = -\ln|\cos(x + C_1)| + C_2$