当x→0时,变量 dfrac (1)({x)^2}sin dfrac (1)(x) 是-|||-__当x→0时,变量 dfrac (1)({x)^2}sin dfrac (1)(x) 是-|||-__

考查要点：本题主要考查函数在极限过程中的有界性、无界性、无穷小和无穷大的判断，需要结合函数的具体形式分析其极限行为。

解题核心思路：

1. 分析函数结构：函数由$\dfrac{1}{x^2}$和$\sin \dfrac{1}{x}$组成，前者在$x \to 0$时趋向无穷大，后者在$-1$到$1$之间振荡。
2. 构造特殊序列：通过选取不同的$x$序列，观察函数值的变化趋势，判断是否存在无界性或极限存在性。
3. 综合结论：若函数在某些序列下趋向无穷大，而在另一些序列下趋向有限值，则函数无界但极限不存在，从而排除其他选项。

破题关键点：

• 无界性：通过选取$x_n = \dfrac{1}{2n\pi + \dfrac{\pi}{2}}$，使$\sin \dfrac{1}{x_n} = 1$，此时$f(x_n) \to +\infty$，说明函数无界。
• 极限不存在：通过选取$x_n = \dfrac{1}{n\pi}$，使$f(x_n) = 0$，说明函数值在不同路径下趋于不同结果，极限不存在。

步骤1：分析函数结构
函数$f(x) = \dfrac{1}{x^2} \sin \dfrac{1}{x}$由两部分组成：

• $\dfrac{1}{x^2}$在$x \to 0$时趋向无穷大。
• $\sin \dfrac{1}{x}$在$-1$到$1$之间振荡，且振荡频率随$x \to 0$加快。

步骤2：构造特殊序列验证无界性
取序列$x_n = \dfrac{1}{2n\pi + \dfrac{\pi}{2}}$，此时：
$\sin \dfrac{1}{x_n} = \sin \left(2n\pi + \dfrac{\pi}{2}\right) = 1$
代入$f(x_n)$得：
$f(x_n) = \left(2n\pi + \dfrac{\pi}{2}\right)^2 \cdot 1 \to +\infty \quad (n \to \infty)$
说明函数在$x \to 0$时无界。

步骤3：验证极限不存在
取序列$x_n = \dfrac{1}{n\pi}$，此时：
$\sin \dfrac{1}{x_n} = \sin(n\pi) = 0$
代入$f(x_n)$得：
$f(x_n) = \dfrac{1}{x_n^2} \cdot 0 = 0 \quad \Rightarrow \quad \lim_{n \to \infty} f(x_n) = 0$
结合步骤2的结果，函数在不同路径下趋于不同极限，说明$x \to 0$时$f(x)$极限不存在，因此既不是无穷大也不是无穷小。