2. 若lim_(xto3)(f(x)-2sqrt(x+1))/(x^2)-9=-(1)/(16),则f(x)=（）.A. x+1B. x+5C. sqrt(x+13)D. sqrt(x+6)

考查要点：本题主要考查极限的洛必达法则应用，以及函数在某点的函数值与导数的求解。

解题核心思路：

1. 确定函数值：当分母$x^2-9$趋近于0时，分子必须趋近于0，从而得到$f(3)=2\sqrt{3+1}=4$。
2. 应用洛必达法则：将原极限转化为分子分母导数的比值，建立方程求解$f'(3)$。
3. 验证选项：结合$f(3)=4$和$f'(3)=\frac{1}{8}$，筛选符合条件的选项。

破题关键点：

• 分子趋近于0的隐含条件。
• 正确应用洛必达法则对分子分母分别求导。
• 导数计算的准确性。

步骤1：确定$f(3)$的值

当$x \to 3$时，分母$x^2-9 \to 0$，因此分子$f(x)-2\sqrt{x+1}$也必须趋近于0，即：
$f(3) - 2\sqrt{3+1} = 0 \implies f(3) = 2 \times 2 = 4.$

步骤2：应用洛必达法则

原极限为$\frac{0}{0}$型，对分子分母分别求导：

• 分子导数：$f'(x) - \frac{1}{\sqrt{x+1}}$（因$\frac{d}{dx}2\sqrt{x+1} = \frac{1}{\sqrt{x+1}}$）
• 分母导数：$2x$

根据洛必达法则：
$\lim_{x \to 3} \frac{f'(x) - \frac{1}{\sqrt{x+1}}}{2x} = -\frac{1}{16}.$

代入$x=3$，分母为$2 \times 3 = 6$，方程变为：
$\frac{f'(3) - \frac{1}{2}}{6} = -\frac{1}{16} \implies f'(3) - \frac{1}{2} = -\frac{6}{16} = -\frac{3}{8} \implies f'(3) = \frac{1}{8}.$

步骤3：验证选项

• 选项C：$f(x) = \sqrt{x+13}$
  • $f(3) = \sqrt{3+13} = \sqrt{16} = 4$（符合条件）
  • $f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x+13}} \implies f'(3) = \frac{1}{2 \times 4} = \frac{1}{8}$（符合条件）

其他选项均不满足$f(3)=4$或$f'(3)=\frac{1}{8}$。