题目
4.10 已知随机变量(X,Y)~N(0,0;1,1;0.5),U=max(X,Y),V=min(X,Y),则E(U+V)=_,E(UV)=_.
4.10 已知随机变量(X,Y)~N(0,0;1,1;0.5),U=max{X,Y},V=min{X,Y},则E(U+V)=_,E(UV)=_.
题目解答
答案
已知随机变量 $(X, Y) \sim N(0, 0; 1, 1; 0.5)$，定义 $U = \max\{X, Y\}$ 和 $V = \min\{X, Y\}$。
1. **计算 $E(U+V)$**：
$U + V = X + Y$，因此
\[
E(U+V) = E(X + Y) = EX + EY = 0 + 0 = 0.
\]
2. **计算 $E(UV)$**：
$UV = XY$，利用协方差定义
\[
\text{Cov}(X, Y) = E(XY) - EX \cdot EY = 0.5 \implies E(XY) = 0.5.
\]
故
\[
E(UV) = E(XY) = 0.5.
\]
答案：$\boxed{0, 0.5}$
解析
步骤 1：计算 $E(U+V)$
由于 $U = \max\{X, Y\}$ 和 $V = \min\{X, Y\}$，我们有 $U + V = X + Y$。因此，$E(U+V) = E(X + Y)$。根据期望的线性性质，$E(X + Y) = EX + EY$。由于 $(X, Y) \sim N(0, 0; 1, 1; 0.5)$，我们有 $EX = 0$ 和 $EY = 0$。因此，$E(U+V) = 0 + 0 = 0$。
步骤 2：计算 $E(UV)$
由于 $U = \max\{X, Y\}$ 和 $V = \min\{X, Y\}$，我们有 $UV = XY$。根据协方差的定义，$\text{Cov}(X, Y) = E(XY) - EX \cdot EY$。由于 $(X, Y) \sim N(0, 0; 1, 1; 0.5)$，我们有 $\text{Cov}(X, Y) = 0.5$。因此，$E(XY) = \text{Cov}(X, Y) + EX \cdot EY = 0.5 + 0 \cdot 0 = 0.5$。因此，$E(UV) = E(XY) = 0.5$。
由于 $U = \max\{X, Y\}$ 和 $V = \min\{X, Y\}$，我们有 $U + V = X + Y$。因此，$E(U+V) = E(X + Y)$。根据期望的线性性质，$E(X + Y) = EX + EY$。由于 $(X, Y) \sim N(0, 0; 1, 1; 0.5)$，我们有 $EX = 0$ 和 $EY = 0$。因此，$E(U+V) = 0 + 0 = 0$。
步骤 2：计算 $E(UV)$
由于 $U = \max\{X, Y\}$ 和 $V = \min\{X, Y\}$，我们有 $UV = XY$。根据协方差的定义，$\text{Cov}(X, Y) = E(XY) - EX \cdot EY$。由于 $(X, Y) \sim N(0, 0; 1, 1; 0.5)$，我们有 $\text{Cov}(X, Y) = 0.5$。因此，$E(XY) = \text{Cov}(X, Y) + EX \cdot EY = 0.5 + 0 \cdot 0 = 0.5$。因此，$E(UV) = E(XY) = 0.5$。