127 7 设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1 )内可导,且 (0)=0, (1)=1. 常数 gt 0,-|||-gt 0. 证明:-|||-(1)存在 xi in (0,1), 使 (xi )=dfrac (a)(a+b)-|||-(2)存在n,g in (0,1) neq 5, 使 dfrac (a)(f'(n))+dfrac (b)(f'(xi ))=a+b.

步骤 1：应用连续函数零点定理
构造函数 $\varphi (x)=f(x)-\dfrac {a}{a+b}$ ，由于 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，且 $f(0)=0$，$f(1)=1$，则有 $\varphi (0)=-\dfrac {a}{a+b} < 0$，$\varphi (1)=1-\dfrac {a}{a+b}=\dfrac {b}{a+b} > 0$。根据连续函数零点定理，存在 $\xi \in (0,1)$，使得 $\varphi (\xi)=0$，即 $f(\xi)=\dfrac {a}{a+b}$。

步骤 2：应用拉格朗日中值定理
在区间 $[0,\xi]$ 与 $[\xi,1]$ 上，对 $f(x)$ 分别应用拉格朗日中值定理，存在 $\eta \in (0,\xi)$ 与 $\xi \in (\xi,1)$，使得 $f'(\eta)=\dfrac {f(\xi)-f(0)}{\xi-0}=\dfrac {f(\xi)}{\xi}$，$f'(\xi)=\dfrac {f(1)-f(\xi)}{1-\xi}=\dfrac {1-f(\xi)}{1-\xi}$。

步骤 3：代入 $f(\xi)=\dfrac {a}{a+b}$ 并化简
将 $f(\xi)=\dfrac {a}{a+b}$ 代入 $f'(\eta)$ 和 $f'(\xi)$ 的表达式中，得到 $f'(\eta)=\dfrac {a}{(a+b)\xi}$，$f'(\xi)=\dfrac {b}{(a+b)(1-\xi)}$。进一步化简得到 $\dfrac {a}{f'(\eta)}+\dfrac {b}{f'(\xi)}=(a+b)\xi+(a+b)(1-\xi)=a+b$。