求幂级数 sum_(n=1)^infty(-1)^n(x^n+1)/(n+1) 的和函数 ().A. (-x)/(1+x), x in (-1,1]B. ln(1+x), x in (-1,1]C. ln(1-x)-x, x in (-1,1]D. ln(1+x)-x, x in (-1,1]

本题考查幂级数求和函数的知识，解题思路是先求出幂级数的收敛区间，再通过对幂级数求导，将其转化为已知的幂级数形式求出导数的和函数，最后通过积分得到原幂级数的和函数。

1. 求幂级数的收敛区间：
   对于幂级数$\sum_{n = 1}^{\infty}a_nx^n$（本题中$a_n = (-1)^{n}\frac{1}{n + 1}$），使用比值判别法求收敛半径$R$。
   根据比值判别法公式$\lim\limits_{n \to \infty}\left|\frac{a_{n + 1}}{a_n}\right|=\lim\limits_{n \to \infty}\left|\frac{(-1)^{n + 1}\frac{1}{n + 2}}{(-1)^{n}\frac{1}{n + 1}}\right|$
   $=\lim\limits_{n \to \infty}\left|\frac{(-1)^{n + 1}}{(-1)^{n}}\cdot\frac{n + 1}{n + 2}\right|=\lim\limits_{n \to \infty}\left|-1\cdot\frac{n + 1}{n + 2}\right|$
   分子分母同时除以$n$得：$\lim\limits_{n \to \infty}\left|\frac{1+\frac{1}{n}}{1+\frac{2}{n}}\right| = 1$
   所以收敛半径$R = 1$。
   接下来判断端点处的敛散性：
   • 当$x = 1$时，幂级数变为$\sum_{n = 1}^{\infty}(-1)^{n}\frac{1^{n + 1}}{n + 1}=\sum_{n = 1}^{\infty}(-1)^{n}\frac{1}{n + 1}$，这是一个交错级数，根据莱布尼茨判别法，$\frac{1}{n + 1}$单调递减且$\lim\limits_{n \to \infty}\frac{1}{n + 1}=0$，所以该级数收敛。
   • 当$x = -1$时，幂级数变为$\sum_{n = 1}^{\infty}(-1)^{n}\frac{(-1)^{n + 1}}{n + 1}=\sum_{n = 1}^{\infty}(-1)^{2n + 1}\frac{1}{n + 1}=-\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{n + 1}$，这与调和级数类似，是发散的。
     因此，幂级数的收敛区间为$x \in (-1,1]$。
2. 求幂级数的和函数：
   设$S(x)=\sum_{n = 1}^{\infty}(-1)^{n}\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$，$x \in (-1,1]$。
   对$S(x)$求导，根据幂级数的逐项求导性质$S^\prime(x)=\left(\sum_{n = 1}^{\infty}(-1)^{n}\frac{x^{n + 1}}{n + 1}\right)^\prime=\sum_{n = 1}^{\infty}\left((-1)^{n}\frac{x^{n + 1}}{n + 1}\right)^\prime$
   $=\sum_{n = 1}^{\infty}(-1)^{n}x^{n}$，这是一个首项为$-x$，公比为$-x$的等比级数。
   根据等比级数求和公式$\sum_{n = 0}^{\infty}ar^n=\frac{a}{1 - r}$（$|r|\lt1$），则$\sum_{n = 1}^{\infty}(-1)^{n}x^{n}=\sum_{n = 0}^{\infty}(-1)^{n}x^{n}-1=\frac{1}{1 + x}-1=-\frac{x}{1 + x}$，$x \in (-1,1)$。
3. 对$S^\prime(x)$积分求$S(x)$：
   由$S^\prime(x)=-\frac{x}{1 + x}$，对其积分$S(x)-S(0)=\int_{0}^{x}S^\prime(t)dt=\int_{0}^{x}-\frac{t}{1 + t}dt$
   先对$-\frac{t}{1 + t}$进行变形：$-\frac{t}{1 + t}=-\frac{t + 1 - 1}{1 + t}=-1+\frac{1}{1 + t}$
   则$\int_{0}^{x}-\frac{t}{1 + t}dt=\int_{0}^{x}\left(-1+\frac{1}{1 + t}\right)dt=\left[-t+\ln(1 + t)\right]_0^x=-x+\ln(1 + x)$
   又因为$S(0)=\sum_{n = 1}^{\infty}(-1)^{n}\frac{0^{n + 1}}{n + 1}=0$，所以$S(x)=\ln(1 + x)-x$，$x \in (-1,1]$。