题目
11、设随机变量X~N(0,1),在X=x条件下随机变量Y~N(x,1),则X与Y的相关系数为 (A.) (1)/(4) (B.) (1)/(2) (C.) (sqrt(3))/(3) (D.) (sqrt(2))/(2)
11、设随机变量X~N(0,1),在X=x条件下随机变量Y~N(x,1),则X与Y的相关系数为 (
A.) $\frac{1}{4}$ (
B.) $\frac{1}{2}$ (
C.) $\frac{\sqrt{3}}{3}$ (
D.) $\frac{\sqrt{2}}{2}$
A.) $\frac{1}{4}$ (
B.) $\frac{1}{2}$ (
C.) $\frac{\sqrt{3}}{3}$ (
D.) $\frac{\sqrt{2}}{2}$
题目解答
答案
已知 $X \sim N(0,1)$，在 $X=x$ 条件下 $Y \sim N(x,1)$。
1. **期望**：
$E(Y) = E(E(Y|X)) = E(X) = 0$。
2. **方差**：
$D(Y) = E(D(Y|X)) + D(E(Y|X)) = E(1) + D(X) = 1 + 1 = 2$。
3. **协方差**：
$\text{Cov}(X,Y) = E(XY) - E(X)E(Y) = E(X^2) = D(X) = 1$。
4. **相关系数**：
$\rho_{XY} = \frac{\text{Cov}(X,Y)}{\sqrt{D(X)} \sqrt{D(Y)}} = \frac{1}{\sqrt{1} \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$。
答案：$\boxed{D}$