例3.4(Poisson 分布在随机选择下的不变性,也称为随机分流的不变性)-|||-假设某段时间里来百货公司的顾客数服从参数为λ的Poisson分布,而在百-|||-货公司里每个顾客购买电视机的概率为p,且每个顾客是否购买电视机是独立-|||-的.问在这段时间内,百货公司售出k台电视机的概率有多大(这里假定每人最-|||-多购买一台电视机).

步骤 1：定义随机变量
设X为百货公司售出电视机的台数，N为这段时间内进入百货公司的人数。根据题意，N服从参数为λ的Poisson分布，即$P(N=n)=\dfrac{{\lambda}^{n}{e}^{-\lambda}}{n!}$，且每个顾客购买电视机的概率为p，且每个顾客是否购买电视机是独立的。

步骤 2：应用全概率公式
由全概率公式知，$P(X=k)=\sum_{n=0}^{\infty}P(X=k|N=n)P(N=n)$。由于在已知有N=n名顾客进入百货公司的条件下，百货公司售出电视机的台数服从参数为n和p的二项分布，即$P(X=k|N=n)=\left\{\begin{matrix} {C}_{n}^{k}p^{k}(1-p)^{n-k},\quad n\geqslant k\\ 0,\quad n\lt k\end{matrix}\right.$。

步骤 3：计算概率
将步骤2中的条件概率代入全概率公式，得到$P(X=k)=\sum_{n=k}^{\infty}{C}_{n}^{k}p^{k}(1-p)^{n-k}\dfrac{{\lambda}^{n}{e}^{-\lambda}}{n!}$。将组合数${C}_{n}^{k}=\dfrac{n!}{k!(n-k)!}$代入，得到$P(X=k)=\sum_{n=k}^{\infty}\dfrac{n!}{k!(n-k)!}p^{k}(1-p)^{n-k}\dfrac{{\lambda}^{n}{e}^{-\lambda}}{n!}$。化简得到$P(X=k)=\dfrac{(p\lambda)^{k}e^{-\lambda}}{k!}\sum_{n=k}^{\infty}\dfrac{[(1-p)\lambda]^{n-k}}{(n-k)!}$。由于$\sum_{n=k}^{\infty}\dfrac{[(1-p)\lambda]^{n-k}}{(n-k)!}=e^{(1-p)\lambda}$，所以$P(X=k)=\dfrac{(p\lambda)^{k}e^{-\lambda}}{k!}e^{(1-p)\lambda}=\dfrac{(p\lambda)^{k}e^{-p\lambda}}{k!}$。