题目
19.[填空题]int_(0)^22xdx=（ ）
19.[填空题]
$\int_{0}^{2}2xdx=$（ ）
题目解答
答案
要解决定积分 $\int_{0}^{2} 2x \, dx$，我们可以按照以下步骤进行：
1. **确定被积函数的原函数：**
被积函数是 $2x$。$2x$ 的原函数可以通过幂规则找到，该规则指出 $x^n$ 的原函数是 $\frac{x^{n+1}}{n+1}$。将此规则应用于 $2x$（其中 $n = 1$），我们得到：
\[
\int 2x \, dx = 2 \cdot \frac{x^2}{2} = x^2 + C
\]
其中 $C$ 是积分常数。由于我们处理的是定积分，我们可以忽略常数 $C$。
2. **在积分的上下限处评估原函数：**
定积分 $\int_{0}^{2} 2x \, dx$ 是原函数 $x^2$ 在上限 $x = 2$ 处的值与在下限 $x = 0$ 处的值之差。因此，我们有：
\[
\int_{0}^{2} 2x \, dx = \left[ x^2 \right]_{0}^{2} = 2^2 - 0^2 = 4
\]
3. **写出最终答案：**
定积分的值是 $\boxed{4}$。
解析
考查要点：本题主要考查定积分的基本计算方法，特别是利用牛顿-莱布尼兹公式求解简单多项式函数的定积分。
解题核心思路：
- 确定被积函数的原函数：利用幂函数的积分规则，将被积函数 $2x$ 积分得到原函数。
- 代入上下限计算差值：根据牛顿-莱布尼兹公式，将原函数在积分上限和下限处的值相减，得到定积分的结果。
破题关键点：
- 正确应用幂规则：对 $x^n$ 积分时，结果为 $\frac{x^{n+1}}{n+1}$。
- 忽略积分常数：定积分中无需考虑常数项 $C$，直接代入上下限即可。
步骤1：求原函数
被积函数为 $2x$，根据幂规则：
$\int 2x \, dx = 2 \cdot \frac{x^{1+1}}{1+1} = x^2$
步骤2：代入上下限
根据牛顿-莱布尼兹公式：
$\int_{0}^{2} 2x \, dx = \left[ x^2 \right]_{0}^{2} = 2^2 - 0^2 = 4$