L是有界平面曲线，下面叙述正确的是()。A. 若 L 关于 x 轴对称，则积分 int_(L) xe^y , ds=0。B. 若 L 关于 y 轴对称，则积分 int_(L) ye^x , ds=0。C. 积分 int_(L) xds一定表示曲线 L的质量。D. 积分 int_(L) ds=L的弧长。

本题主要考查对第一类曲线积分的性质、物理意义以及弧长计算公式的理解。下面我们对每个选项逐一进行分析：

• 选项A：
  • 若曲线$L$关于$x$轴对称，设$L = L_1+L_2$，其中$L_1$是$L$在$x$轴上方的部分，$L_2$是$L$在$x$轴下方的部分，且$L_1$与$L_2$关于$x$轴对称。
  • 对于$L_1$和$L_2$上的点$(x,y)$和$(x,-y)$，弧长元素$ds$是相同的。
  • 计算$\int_{L} xe^y \, ds=\int_{L_1} xe^y \, ds+\int_{L_2} xe^y \, ds$，在$L_2$上，令$y=-t$，则$\int_{L_2} xe^y \, ds=\int_{L_1} xe^{-t} \, ds$。
  • 所以$\int_{L} xe^y \, ds=\int_{L_1} xe^y \, ds+\int_{L_1} xe^{-y} \, ds=\int_{L_1} x(e^y + e^{-y}) \, ds$，因为$e^y + e^{-y}\gt0$，$x$在$L_1$上不一定恒为$0$，所以$\int_{L} xe^y \, ds$不一定为$0$，A选项错误。
• 选项B：
  • 若曲线$L$关于$y$轴对称，设$L = L_1+L_2$，其中$L_1$是$L$在$y$轴右侧的部分，$L_2$是$L$在$y$轴左侧的部分，且$L_1$与$L_2$关于$y$轴对称。
  • 对于$L_1$和$L_2$上的点$(x,y)$和$(-x,y)$，弧长元素$ds$是相同的。
  • 计算$\int_{L} ye^x \, ds=\int_{L_1} ye^x \, ds+\int_{L_2} ye^x \, ds$，在$L_2$上，令$x=-t$，则$\int_{L_2} ye^x \, ds=\int_{L_1} ye^{-t} \, ds$。
  • 所以$\int_{L} ye^x \, ds=\int_{L_1} ye^x \, ds+\int_{L_1} ye^{-x} \, ds=\int_{L_1} y(e^x + e^{-x}) \, ds$，因为$e^x + e^{-x}\gt0$，$y$在$L_1$上不一定恒为$0$，所以$\int_{L} ye^x \, ds$不一定为$0$，B选项错误。
• 选项C：
  • 当曲线$L$的线密度$\rho(x,y)=1$时，积分$\int_{L} xds$表示曲线$L$关于$y$轴的静矩，而不是曲线$L$的质量，曲线$L$的质量$m = \int_{L} \rho(x,y)ds$，只有当$\rho(x,y)=1$时，$m=\int_{L} ds$，C选项错误。
• 选项D：
  • 根据第一类曲线积分的几何意义，$\int_{L} ds$表示曲线$L$的弧长，这是由弧长的定义和第一类曲线积分的计算方法推导出来的。设曲线$L$的参数方程为$\begin{cases}x = x(t)\\y = y(t)\end{cases}$，$t\in[\alpha,\beta]$，则弧长$s=\int_{\alpha}^{\beta}\sqrt{(\frac{dx}{dt})^2+(\frac{dy}{dt})^2}dt=\int_{L} ds$，D选项正确。