题目
已知数列(an)满足a1=1，an+1=2an+1.（1）证明数列(an+1)是等比数列.（2）求数列(an)的通项公式.
已知数列{an}满足a1=1，an+1=2an+1.
（1）证明数列{an+1}是等比数列.
（2）求数列{an}的通项公式.
题目解答
答案
解：(1)证明：因为an+1=2an+1，
所以an+1+1=2(an+1).
由a1=1可知，a1+1=2，这时an+1≠0，
所以an+1+1an+1=2(n∈N*)，
所以数列{an+1}是等比数列.
(2)由(1)得an+1=2·2n-1=2n，
所以an=2n-1.
解析
步骤 1：证明数列{a_n+1}是等比数列
根据题目条件，我们有a_n+1=2a_n+1。为了证明数列{a_n+1}是等比数列，我们需要证明相邻两项的比值是常数。为此，我们首先将给定的递推关系式变形为a_n+1+1=2(a_n+1)。这样，我们就可以看出相邻两项的比值为2，即an+1+1an+1=2，这表明数列{a_n+1}是等比数列，其公比为2。
步骤 2：求出数列{a_n+1}的通项公式
由于数列{a_n+1}是等比数列，其首项为a_1+1=2，公比为2，因此其通项公式为a_n+1=2·2^{n-1}=2^{n}。
步骤 3：求出数列{a_n}的通项公式
根据步骤2中得到的数列{a_n+1}的通项公式，我们可以求出数列{a_n}的通项公式。由于a_n+1=2^{n}，因此a_n=2^{n}-1。
根据题目条件，我们有a_n+1=2a_n+1。为了证明数列{a_n+1}是等比数列，我们需要证明相邻两项的比值是常数。为此，我们首先将给定的递推关系式变形为a_n+1+1=2(a_n+1)。这样，我们就可以看出相邻两项的比值为2，即an+1+1an+1=2，这表明数列{a_n+1}是等比数列，其公比为2。
步骤 2：求出数列{a_n+1}的通项公式
由于数列{a_n+1}是等比数列，其首项为a_1+1=2，公比为2，因此其通项公式为a_n+1=2·2^{n-1}=2^{n}。
步骤 3：求出数列{a_n}的通项公式
根据步骤2中得到的数列{a_n+1}的通项公式，我们可以求出数列{a_n}的通项公式。由于a_n+1=2^{n}，因此a_n=2^{n}-1。