12、下列关于方差的命题，正确的有（）（5分） squareA.设C为常数，则D(C)=C squareB.设X为随机变量，C为常数，则D(CX)=C²D(X) squareC.设X,Y相互独立，则D(X+Y)=D(X)+D(Y) squareD.设X,Y相互独立，则D(X-Y)=D(X)-D(Y)

考查要点：本题主要考查方差的基本性质，包括常数的方差、随机变量与常数相乘的方差、独立随机变量和与差的方差计算。

解题核心思路：

1. 常数的方差为0，而非常数本身；
2. 随机变量与常数相乘的方差需对方差进行平方缩放；
3. 独立随机变量的和与差的方差等于各自方差之和，与符号无关。

破题关键点：

• 明确方差的定义式：$D(X) = E[(X - E(X))^2]$；
• 牢记方差的性质：$D(aX + b) = a^2 D(X)$；
• 理解独立变量的协方差为0，从而推导和与差的方差。

选项A：设C为常数，则D(C)=C

分析：
根据方差的定义，常数的方差为0。
验证：
$D(C) = E[(C - E(C))^2] = E[0^2] = 0$
结论：选项A错误。

选项B：设X为随机变量，C为常数，则D(CX)=C²D(X)

分析：
方差具有齐次性，系数平方后作用于原方差。
验证：
$D(CX) = E[(CX - E(CX))^2] = E[C^2(X - E(X))^2] = C^2 E[(X - E(X))^2] = C^2 D(X)$
结论：选项B正确。

选项C：设X,Y相互独立，则D(X+Y)=D(X)+D(Y)

分析：
独立变量的协方差为0，和的方差等于方差之和。
验证：
$D(X+Y) = D(X) + D(Y) + 2\text{Cov}(X,Y)$
由于X与Y独立，$\text{Cov}(X,Y) = 0$，因此：
$D(X+Y) = D(X) + D(Y)$
结论：选项C正确。

选项D：设X,Y相互独立，则D(X−Y)=D(X)−D(Y)

分析：
差的方差与和的方差计算方式相同，仍为方差之和。
验证：
$D(X-Y) = D(X) + D(Y) + 2\text{Cov}(X,-Y)$
由于$\text{Cov}(X,-Y) = -\text{Cov}(X,Y) = 0$（独立），因此：
$D(X-Y) = D(X) + D(Y)$
结论：选项D错误。