两金属球的半径之比为1:4,带等量的同号电荷。当两者的距离远大于两球的时,有一定的电势能。若将两球接触一下再移回原处,则电势能变为原来的()。 A. 4div 5 B. 3div 5 C. 16div 25 D. 9div 25

考查要点：本题主要考查导体球接触后电荷重新分配的规律，以及电势能的计算。关键在于理解电容与半径的关系，以及接触后电势相等的条件。

解题思路：

1. 电容与半径的关系：金属球的电容公式为 $C = 4\pi \varepsilon_0 r$，因此半径之比为 $1:4$ 的两球电容之比为 $1:4$。
2. 接触后电荷分配：接触时总电荷守恒，且两球电势相等。根据 $Q = CV$，电荷按电容比例分配。
3. 电势能计算：接触前后，电势能由 $E_p = k\frac{Q_1 Q_2}{r}$ 决定，需计算电荷分配后的乘积变化。

步骤1：确定电容比与总电荷

• 两球半径比为 $1:4$，电容比为 $C_1 : C_2 = 1 : 4$。
• 初始总电荷为 $Q_1 + Q_2 = Q + Q = 2Q$。

步骤2：接触后电荷分配

接触后电势相等，设为 $V$，则：
$Q_1' = C_1 V, \quad Q_2' = C_2 V$
总电荷守恒：
$Q_1' + Q_2' = 2Q \implies (C_1 + C_2)V = 2Q \implies V = \frac{2Q}{C_1 + C_2}$
代入 $C_1 = 1$，$C_2 = 4$：
$Q_1' = 1 \cdot \frac{2Q}{5} = \frac{2Q}{5}, \quad Q_2' = 4 \cdot \frac{2Q}{5} = \frac{8Q}{5}$

步骤3：计算电势能比值

初始电势能：
$E_{\text{原}} = k\frac{Q \cdot Q}{r} = k\frac{Q^2}{r}$
接触后电势能：
$E_{\text{新}} = k\frac{Q_1' \cdot Q_2'}{r} = k\frac{\left(\frac{2Q}{5}\right)\left(\frac{8Q}{5}\right)}{r} = k\frac{\frac{16Q^2}{25}}{r}$
比值：
$\frac{E_{\text{新}}}{E_{\text{原}}} = \frac{16}{25}$